NP-Полная задача: различия между версиями
Glk (обсуждение | вклад) (Создана новая страница размером '''<math>cal NP</math>-Полная задача''' (''<math>cal NP</math>-Complete problem'') - такая задача <math>A</math> ...) |
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''<math> | '''<math>\mathcal NP</math>-Полная задача''' (''[[NP-Complete problem|<math>\mathcal NP</math>-Complete problem]]'') - такая задача <math>A</math> из класса <math>\mathcal NP</math> всех задач, | ||
такая задача <math>A</math> из класса <math>\ | недетерминированно разрешимых за полиномиальное время, что любая задача из <math>\mathcal NP</math> ''[[полиномиальная сводимость(трансформируемость)|полиномиально сводится]]'' к <math>A</math>. Если требование принадлежности <math>A</math> классу <math>\mathcal NP</math> не | ||
недетерминированно разрешимых за полиномиальное время, что | рассматривается, то используется термин ''<math>\mathcal NP</math>-трудная'' задача. | ||
любая задача из <math>\ | |||
требование принадлежности <math>A</math> классу <math>\ | |||
рассматривается, то используется термин ''<math>\ | |||
задача. | |||
Найдется немного научных терминов, так быстро завоевавших | Найдется немного научных терминов, так быстро завоевавших широкую известность, как понятие "<math>{\mathcal NP}</math>-полная задача". За короткий промежуток времени с момента введения этого понятия С.Куком в начале 70-х годов оно стало символом тех трудностей, которые встречаются на пути создания достаточно общих и эффективных методов решения задач дискретной математики. | ||
широкую известность, как понятие "<math>{\ | <math>{\mathcal NP}</math>-полные задачи являются "самыми трудными" в классе <math>{\mathcal NP}</math>. | ||
короткий промежуток времени с момента введения этого понятия | Если какая-нибудь <math>{\mathcal NP}</math>-полная задача может быть решена за полиномиальное время, то и любая задача из <math>{\mathcal NP}</math> полиномиально разрешима, а если какая-то задача из <math>{\mathcal NP}</math> труднорешаема, то и любая <math>{\mathcal NP}</math>-полная задача является труднорешаемой. При этом, для того чтобы доказать <math>{\mathcal NP}</math>-полноту некоторой задачи из <math>{\mathcal NP}</math>, достаточно показать, что какая-то из | ||
С.Куком в начале 70-х годов оно стало символом тех | <math>{\mathcal NP}</math>-полных задач полиномиально сводится к ней. | ||
трудностей, которые встречаются на пути создания достаточно | |||
общих и эффективных методов решения задач дискретной | |||
математики. | |||
<math>{\ | |||
трудными" в классе <math>{\ | |||
Если какая-нибудь <math>{\ | |||
задача может быть решена за полиномиальное время, то и любая задача из | |||
<math>{\ | |||
труднорешаема, то и любая <math>{\ | |||
труднорешаемой. При этом, для того чтобы доказать <math>{\ | |||
некоторой задачи из <math>{\ | |||
<math>{\ | |||
Вопрос о взаимоотношении классов <math>{\ | Вопрос о взаимоотношении классов <math>{\mathcal P}</math> и <math>{\mathcal NP}</math> имеет | ||
фундаментальное значение, но все еще открыт. Известно, что | фундаментальное значение, но все еще открыт. Известно, что | ||
<math>{\ | <math>{\mathcal P}\subseteq {\mathcal NP}</math> и если <math>L\in {\mathcal NP}</math>, то существует такой полином <math>p(n)</math> и ''ДМТ'' <math>M</math>, что <math>L</math> допускается на <math>M</math> с [[временная сложность|временной сложностью]] <math>O(2^{p(n)})</math>. Однако до сих пор не доказано, содержит класс <math>{\mathcal NP}</math> труднорешаемые задачи или нет, т.е. <math>{\mathcal NP\setminus P}\neq \emptyset</math> или <math>{\mathcal NP=P}</math>. Вместе с тем известно, что в предположении <math>{\mathcal P}\neq {\mathcal NP}</math> класс <math>{\mathcal NP}</math> не просто содержит два непересекающихся подкласса: класс <math>{\mathcal P}</math> и класс <math>{\mathcal NP}</math>-полных задач, а также должен включать задачи, не принадлежащие ни одному из этих подклассов (т.е. при <math>{\mathcal P}\neq | ||
такой полином <math>p(n)</math> и ''ДМТ'' <math>M</math>, что <math>L</math> допускается на <math>M</math> с временной | {\mathcal NP}</math> должны существовать задачи из <math>{\mathcal NP}</math>, которые | ||
сложностью <math>O(2^{p(n)})</math>. Однако до сих пор | неразрешимы за полиномиальное время и не являются <math>{\mathcal NP}</math>-полными). | ||
не доказано, содержит класс <math>{\ | |||
т.е. <math>{\ | |||
известно, что в предположении <math>{\ | |||
не просто содержит два непересекающихся подкласса: класс <math>{\ | |||
класс <math>{\ | |||
принадлежащие ни одному из этих подклассов (т.е. при <math>{\ | |||
{\ | |||
неразрешимы за полиномиальное время и не являются <math>{\ | |||
NP}</math>-полными). | |||
Известна <math>{\ | Известна <math>{\mathcal NP}</math>-полнота сотен задач. | ||
Среди них: | Среди них: | ||
(''Гамильтонов цикл''). | (''[[Гамильтонов цикл]]''). | ||
Имеет ли данный неориентированный граф гамильтонов | Имеет ли данный [[неориентированный граф]] гамильтонов цикл? | ||
цикл? | |||
(''Раскрашиваемость''). | (''Раскрашиваемость''). | ||
Является ли данный неориентированный граф | Является ли данный неориентированный граф | ||
<math>k</math>-раскрашиваемым? | [[k-раскрашиваемый граф|<math>k</math>-раскрашиваемым]]? | ||
(''Множество вершин, разрезающих контуры''). Имеет ли данный | (''[[Множество вершин, разрезающих контуры]]''). Имеет ли данный | ||
ориентированный граф <math>k</math>-элементное множество вершин, ''разрезающих'' все его контуры, т.е. содержащих хотя бы по одной вершине каждого из них? | [[ориентированный граф]] <math>k</math>-элементное множество вершин, ''разрезающих'' все его контуры, т.е. содержащих хотя бы по одной вершине каждого из них? | ||
(''Множество дуг, разрезающих контуры''). Имеет ли данный | (''[[Множество дуг, разрезающих контуры]]''). Имеет ли данный | ||
ориентированный граф <math>k</math>-элементное множество дуг, | ориентированный граф <math>k</math>-элементное множество дуг, | ||
''разрезающих'' все его контуры, т.е. содержащих хотя бы по одной | ''разрезающих'' все его контуры, т.е. содержащих хотя бы по одной | ||
дуге каждого из них? | дуге каждого из них? | ||
(''Ориентированный гамильтонов цикл''). Имеет ли данный ориентированный | (''Ориентированный [[гамильтонов цикл]]''). Имеет ли данный ориентированный | ||
граф ориентированный гамильтонов цикл? | граф ориентированный гамильтонов цикл? | ||
(''Разбиение''). | (''[[Разбиение]]''). | ||
Существует ли разбиение данного конечного множества | Существует ли разбиение данного конечного множества | ||
элементов, имеющих неотрицательный вес, на два подмножества, равных по | элементов, имеющих неотрицательный вес, на два подмножества, равных по | ||
суммарному весу составляющих их элементов? | суммарному весу составляющих их элементов? | ||
(''Изоморфизм неориентированному подграфу''). Содержит ли данный | (''[[Изоморфизм неориентированному подграфу]]''). Содержит ли данный | ||
неориентированный граф <math>G</math> | неориентированный граф <math>G</math> | ||
подграф, изоморфный данному неориентированному графу <math>H</math>? | [[подграф]], изоморфный данному неориентированному графу <math>H</math>? | ||
(''Остовное дерево ограниченной степени''). Существует ли в данном | (''[[Остовное дерево ограниченной степени]]''). Существует ли в данном | ||
неориентированном графе остовное дерево, в котором все вершины имеют | неориентированном графе [[остовное дерево]], в котором все [[вершина|вершины]] имеют | ||
степень не более <math>k</math>? | [[степень вершины|степень]] не более <math>k</math>? | ||
(''Минимальный эквивалентный по достижимости ориентированный | (''[[Минимальный эквивалентный по достижимости ориентированный | ||
граф''). Можно ли удалить из данного ориентированного графа | граф]]''). Можно ли удалить из данного ориентированного графа | ||
часть дуг так, чтобы отношение достижимости между вершинами | часть [[дуга|дуг]] так, чтобы отношение [[достижимая вершина|достижимости]] между вершинами | ||
не изменилось, но результирующий граф содержал бы не более | не изменилось, но результирующий граф содержал бы не более | ||
<math>k</math> дуг. | <math>k</math> дуг. | ||
(''Самый длинный путь''). Имеется ли в данном неориентированном графе | (''[[Самый длинный путь]]''). Имеется ли в данном неориентированном графе | ||
простой путь длины не меньше <math>k</math>? | [[простой путь]] [[длин пути|длины]] не меньше <math>k</math>? | ||
(''Доминирующее множество''). Существует ли в данном неориентированном | (''[[Доминирующее множество]]''). Существует ли в данном неориентированном | ||
графе доминирующее множество, состоящее из не более <math>k</math> вершин? | графе доминирующее множество, состоящее из не более <math>k</math> вершин? | ||
(''3-раскрашиваемость''). Можно ли данный неориентированный граф раскрасить | (''[[3-Раскрашиваемость|3-раскрашиваемость]]''). Можно ли данный неориентированный граф раскрасить | ||
в три цвета? | в три цвета? | ||
(''Нумерация графа по Гранди''). Можно ли сопоставить с вершинами данного | (''[[Нумерация графа по Гранди]]''). Можно ли сопоставить с вершинами данного | ||
ориентированного графа <math>G=(V,A)</math> различные неотрицательные числа таким | ориентированного графа <math>G=(V,A)</math> различные неотрицательные числа таким | ||
образом, чтобы для каждого <math>p\in V</math> число <math>F(p)</math>, сопоставленное с | образом, чтобы для каждого <math>p\in V</math> число <math>F(p)</math>, сопоставленное с | ||
| Строка 96: | Строка 70: | ||
множеству <math>\{ F(q):q\in V, (p,q)\in A\}</math>? | множеству <math>\{ F(q):q\in V, (p,q)\in A\}</math>? | ||
(''Минимум суммы квадратов''). Может ли данное конечное множество <math>A</math> | (''[[Минимум суммы квадратов]]''). Может ли данное конечное множество <math>A</math> | ||
элементов, имеющих неотрицательный размер <math>S(a)</math>, быть разбито на <math>k</math> | элементов, имеющих неотрицательный размер <math>S(a)</math>, быть разбито на <math>k</math> | ||
подмножеств <math>A_1,\ldots, A_k</math> так, чтобы <math>\sum^{k}_{i=1}\left( | подмножеств <math>A_1,\ldots, A_k</math> так, чтобы <math>\sum^{k}_{i=1}\left( | ||
| Строка 102: | Строка 76: | ||
положительные числа? | положительные числа? | ||
(''Расщепление множества''). Существует ли разбиение данного конечного | (''[[Расщепление множества]]''). Существует ли разбиение данного конечного | ||
множества <math>A</math> на два таких, что ни одно из них не содержит ни одного | множества <math>A</math> на два таких, что ни одно из них не содержит ни одного | ||
из элементов заданного семейства подмножеств <math>A</math>? | из элементов заданного семейства подмножеств <math>A</math>? | ||
См. также ''Задача о вершинном покрытии, Задача о выполнимости, Задача о клике, Задача о неэквивалентности регулярных выражений, Задача о разбиении, Задача о точном покрытии 3-множествами, | ==См. также == | ||
Задача о трехмерном сочетании, Классы <math>\ | ''[[Задача о вершинном покрытии]], [[Задача о выполнимости]], [[Задача о клике]], [[Задача о неэквивалентности регулярных выражений]], [[Задача о разбиении]], [[Задача о точном покрытии 3-множествами]], [[Задача о трехмерном сочетании]], [[Классы P и NP|Классы <math>\mathcal P</math> и <math>\mathcal NP</math>]], [[Задача легко разрешимая]], [[Метод локальной замены]], [[Метод построения компонент]], [[Задача распознавания свойств]], [[Метод сужения задачи]], [[Полиномиальная сводимость (трансформируемость)]], [[NP-Полная задача|<math>\mathcal NP</math>-полная задача]], [[Труднорешаемая задача]].'' | ||
Метод сужения задачи, Полиномиальная сводимость (трансформируемость), <math>\ | |||
==Литература== | ==Литература== | ||
[Ахо-Хопкрофт-Ульман], | [Ахо-Хопкрофт-Ульман], | ||
Версия от 12:59, 21 декабря 2009
[math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math]-Полная задача ([math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math]-Complete problem) - такая задача [math]\displaystyle{ A }[/math] из класса [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math] всех задач, недетерминированно разрешимых за полиномиальное время, что любая задача из [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math] полиномиально сводится к [math]\displaystyle{ A }[/math]. Если требование принадлежности [math]\displaystyle{ A }[/math] классу [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math] не рассматривается, то используется термин [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math]-трудная задача.
Найдется немного научных терминов, так быстро завоевавших широкую известность, как понятие "[math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полная задача". За короткий промежуток времени с момента введения этого понятия С.Куком в начале 70-х годов оно стало символом тех трудностей, которые встречаются на пути создания достаточно общих и эффективных методов решения задач дискретной математики. [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полные задачи являются "самыми трудными" в классе [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]. Если какая-нибудь [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полная задача может быть решена за полиномиальное время, то и любая задача из [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math] полиномиально разрешима, а если какая-то задача из [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math] труднорешаема, то и любая [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полная задача является труднорешаемой. При этом, для того чтобы доказать [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полноту некоторой задачи из [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math], достаточно показать, что какая-то из [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полных задач полиномиально сводится к ней.
Вопрос о взаимоотношении классов [math]\displaystyle{ {\mathcal P} }[/math] и [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math] имеет фундаментальное значение, но все еще открыт. Известно, что [math]\displaystyle{ {\mathcal P}\subseteq {\mathcal NP} }[/math] и если [math]\displaystyle{ L\in {\mathcal NP} }[/math], то существует такой полином [math]\displaystyle{ p(n) }[/math] и ДМТ [math]\displaystyle{ M }[/math], что [math]\displaystyle{ L }[/math] допускается на [math]\displaystyle{ M }[/math] с временной сложностью [math]\displaystyle{ O(2^{p(n)}) }[/math]. Однако до сих пор не доказано, содержит класс [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math] труднорешаемые задачи или нет, т.е. [math]\displaystyle{ {\mathcal NP\setminus P}\neq \emptyset }[/math] или [math]\displaystyle{ {\mathcal NP=P} }[/math]. Вместе с тем известно, что в предположении [math]\displaystyle{ {\mathcal P}\neq {\mathcal NP} }[/math] класс [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math] не просто содержит два непересекающихся подкласса: класс [math]\displaystyle{ {\mathcal P} }[/math] и класс [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полных задач, а также должен включать задачи, не принадлежащие ни одному из этих подклассов (т.е. при [math]\displaystyle{ {\mathcal P}\neq {\mathcal NP} }[/math] должны существовать задачи из [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math], которые неразрешимы за полиномиальное время и не являются [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полными).
Известна [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полнота сотен задач.
Среди них:
(Гамильтонов цикл). Имеет ли данный неориентированный граф гамильтонов цикл?
(Раскрашиваемость). Является ли данный неориентированный граф [math]\displaystyle{ k }[/math]-раскрашиваемым?
(Множество вершин, разрезающих контуры). Имеет ли данный ориентированный граф [math]\displaystyle{ k }[/math]-элементное множество вершин, разрезающих все его контуры, т.е. содержащих хотя бы по одной вершине каждого из них?
(Множество дуг, разрезающих контуры). Имеет ли данный ориентированный граф [math]\displaystyle{ k }[/math]-элементное множество дуг, разрезающих все его контуры, т.е. содержащих хотя бы по одной дуге каждого из них?
(Ориентированный гамильтонов цикл). Имеет ли данный ориентированный граф ориентированный гамильтонов цикл?
(Разбиение). Существует ли разбиение данного конечного множества элементов, имеющих неотрицательный вес, на два подмножества, равных по суммарному весу составляющих их элементов?
(Изоморфизм неориентированному подграфу). Содержит ли данный неориентированный граф [math]\displaystyle{ G }[/math] подграф, изоморфный данному неориентированному графу [math]\displaystyle{ H }[/math]?
(Остовное дерево ограниченной степени). Существует ли в данном неориентированном графе остовное дерево, в котором все вершины имеют степень не более [math]\displaystyle{ k }[/math]?
([[Минимальный эквивалентный по достижимости ориентированный граф]]). Можно ли удалить из данного ориентированного графа часть дуг так, чтобы отношение достижимости между вершинами не изменилось, но результирующий граф содержал бы не более [math]\displaystyle{ k }[/math] дуг.
(Самый длинный путь). Имеется ли в данном неориентированном графе простой путь длины не меньше [math]\displaystyle{ k }[/math]?
(Доминирующее множество). Существует ли в данном неориентированном графе доминирующее множество, состоящее из не более [math]\displaystyle{ k }[/math] вершин?
(3-раскрашиваемость). Можно ли данный неориентированный граф раскрасить в три цвета?
(Нумерация графа по Гранди). Можно ли сопоставить с вершинами данного ориентированного графа [math]\displaystyle{ G=(V,A) }[/math] различные неотрицательные числа таким образом, чтобы для каждого [math]\displaystyle{ p\in V }[/math] число [math]\displaystyle{ F(p) }[/math], сопоставленное с вершиной [math]\displaystyle{ p }[/math], совпадало с наименьшим целым числом, не принадлежащим множеству [math]\displaystyle{ \{ F(q):q\in V, (p,q)\in A\} }[/math]?
(Минимум суммы квадратов). Может ли данное конечное множество [math]\displaystyle{ A }[/math] элементов, имеющих неотрицательный размер [math]\displaystyle{ S(a) }[/math], быть разбито на [math]\displaystyle{ k }[/math] подмножеств [math]\displaystyle{ A_1,\ldots, A_k }[/math] так, чтобы [math]\displaystyle{ \sum^{k}_{i=1}\left( \sum_{a\in A_i} s(a)\right)^2\leq t }[/math], где [math]\displaystyle{ k,t }[/math] --- заданные положительные числа?
(Расщепление множества). Существует ли разбиение данного конечного множества [math]\displaystyle{ A }[/math] на два таких, что ни одно из них не содержит ни одного из элементов заданного семейства подмножеств [math]\displaystyle{ A }[/math]?
См. также
Задача о вершинном покрытии, Задача о выполнимости, Задача о клике, Задача о неэквивалентности регулярных выражений, Задача о разбиении, Задача о точном покрытии 3-множествами, Задача о трехмерном сочетании, Классы [math]\displaystyle{ \mathcal P }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math], Задача легко разрешимая, Метод локальной замены, Метод построения компонент, Задача распознавания свойств, Метод сужения задачи, Полиномиальная сводимость (трансформируемость), [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math]-полная задача, Труднорешаемая задача.
Литература
[Ахо-Хопкрофт-Ульман],
[Гэри-Джонсон],
[Касьянов/95]