Нахождение ближайшей подстроки: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 36: Строка 36:
   
   


'''Теорема 3[3]. Задача CLOSEST SUBSTRING является W[1]-сложной относительно параметра k даже для бинарного алфавита.'''
'''Теорема 3 [3]. Задача CLOSEST SUBSTRING является W[1]-сложной относительно параметра k даже для бинарного алфавита.'''




'''Теорема 4[7]. Задача CLOSEST SUBSTRING является W[1]-сложной относительно параметра d даже для бинарного алфавита.'''
'''Теорема 4 [7]. Задача CLOSEST SUBSTRING является W[1]-сложной относительно параметра d даже для бинарного алфавита.'''




Строка 45: Строка 45:




Теорема 4 также позволяет по-новому взглянуть на вопрос аппроксимируемости задачи: в схеме PTAS для задачи CLOSEST SUBSTRING показатель степени полинома, ограничивающего время выполнения, зависит от коэффициента аппроксимации. Эта схема не является «эффективной» PTAS (EPTAS), то есть PTAS с временем выполнения <math>f(\epsilon) \cdot n^c</math> для некоторой функции f и некоторой константы c и, следовательно, вряд ли окажется полезной на практике. Из теоремы 4 следует, что PTAS с временем выполнения <math>n^{(O(1 / \epsilon^4)}</math>, представленная в [6], скорее всего,не может быть улучшена до EPTAS. Точнее говоря, не существует PTAS с временем выполнения <math>f(\epsilon) \cdot n^{o(log \; 1 / \epsilon)}</math> для задачи CLOSEST SUBSTRING, за исключением случая, если задача 3-КНФ может быть решена за субэкспоненциальное время. Кроме того, из доказательства теоремы 4 также следует
Теорема 4 также позволяет по-новому взглянуть на вопрос аппроксимируемости задачи: в схеме PTAS для задачи CLOSEST SUBSTRING показатель степени полинома, ограничивающего время выполнения, зависит от коэффициента аппроксимации. Эта схема не является «эффективной» PTAS (EPTAS), то есть PTAS с временем выполнения <math>f(\epsilon) \cdot n^c</math> для некоторой функции f и некоторой константы c и, следовательно, вряд ли окажется полезной на практике. Из теоремы 4 следует, что PTAS с временем выполнения <math>n^{O(1 / \epsilon^4)}</math>, представленная в [6], скорее всего, не может быть улучшена до EPTAS. Точнее говоря, не существует PTAS с временем выполнения <math>f(\epsilon) \cdot n^{o(log \; 1 / \epsilon)}</math> для задачи CLOSEST SUBSTRING, за исключением случая, если задача 3-КНФ может быть решена за субэкспоненциальное время. Кроме того, из доказательства теоремы 4 также следует




'''Теорема 5 [7]. Не существует алгоритма, решающего задачу CLOSEST SUBSTRING приближенно за время <math>f(d, k) \cdot n^{o(log \; d)}</math> и точно за время <math>g(d, k) \cdot n^{o(log \; log \; k)}</math> для некоторых функций f и g, за исключением случая, если задача 3-КНФ может быть решена за субэкспоненциальное время.'''
'''Теорема 5 [7]. Не существует точных алгоритмов решения задачи CLOSEST SUBSTRING за время <math>f(d, k) \cdot n^{o(log \; d)}</math> и <math>g(d, k) \cdot n^{o(log \; log \; k)}</math> для некоторых функций f и g, за исключением случая, если задача 3-КНФ может быть решена за субэкспоненциальное время.'''




Для неограниченных алфавитов были получены более строгие границы за счет того, что было показано, что не существует PTAS с временем выполнения <math>f(\epsilon) \cdot n^{o(1 / \epsilon)}</math> для задачи CLOSEST SUBSTRING для любой функции f, за исключением случая, если задача 3-КНФ может быть решена за субэкспоненциальное время. Следующие утверждения дают возможность получить точные алгоритмы решения задачи CLOSEST SUBSTRING для небольших фиксированных значений d и k, соответствующие границе, приведенной в теореме 5:
Для неограниченных алфавитов были получены более строгие границы за счет того, что было показано, что не существует PTAS с временем выполнения <math>f(\epsilon) \cdot n^{o(1 / \epsilon)}</math> для задачи CLOSEST SUBSTRING для любой функции f, за исключением случая, если задача 3-КНФ может быть решена за субэкспоненциальное время [10]. Следующие утверждения дают возможность получить точные алгоритмы решения задачи CLOSEST SUBSTRING для небольших фиксированных значений d и k, соответствующие границе, приведенной в теореме 5:




Строка 59: Строка 59:
'''Теорема 7 [7]. Задача CLOSEST SUBSTRING может быть решена за время <math>g(d, k) \cdot n^{O(log \; log \; k)}</math> для некоторой функции g, где, более точно, <math>g(d, k) = (|\Sigma| d)^{O(kd)}</math>.'''
'''Теорема 7 [7]. Задача CLOSEST SUBSTRING может быть решена за время <math>g(d, k) \cdot n^{O(log \; log \; k)}</math> для некоторой функции g, где, более точно, <math>g(d, k) = (|\Sigma| d)^{O(kd)}</math>.'''


Относительно заданного в задаче параметра L задачу CLOSEST SUBSTRING можно тривиально решить за время <math>O(|\Sigma|^L \cdot n)</math>, проверяя все возможные строки над алфавитом S.
Относительно заданного в задаче параметра L задачу CLOSEST SUBSTRING можно тривиально решить за время <math>O(|\Sigma|^L \cdot n)</math>, проверяя все возможные строки над алфавитом <math>\Sigma</math>.


== Применение ==
== Применение ==
4551

правка

Навигация