4551
правка
Критический диапазон для беспроводных сетей: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Критический диапазон для беспроводных сетей (посмотреть исходный код)
Версия от 13:54, 6 июля 2017
, 6 июля 2017→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Далее будут рассматриваться точки на двумерной плоскости. Пусть <math>X_1, X_2, ... \;</math> – независимые и равномерно распределенные случайные точки в ограниченной области A. Пусть имеется целое положительное число n. Точечным процессом <math>\{ X_1, X_2, ..., X_n \} \;</math> называется равномерный n-точечный процесс над A, обозначаемый <math>\ | Далее будут рассматриваться точки на двумерной плоскости. Пусть <math>X_1, X_2, ... \;</math> – независимые и равномерно распределенные случайные точки в ограниченной области A. Пусть имеется целое положительное число n. Точечным процессом <math>\{ X_1, X_2, ..., X_n \} \;</math> называется равномерный n-точечный процесс над A, обозначаемый <math>\mathcal{X}_n (A) \;</math>. Пусть имеется положительное число <math>\lambda \;</math>. Обозначим за <math>P_0 (\lambda) \;</math> пуассонову случайную переменную с параметром A, независимую от <math>\{ X_1, X_2, ... \; \} </math>. Тогда точечный процесс <math>\{ X_1, X_2, ..., X_{P_o (n)} \} \; </math> представляет собой пуассоновский точечный процесс со средним значением n над A и обозначается <math>\mathcal{P}_n (A) \;</math>. A называется областью развертывания. Событие называется асимптотическим «почти наверное», если оно случается с вероятностью, стремящейся к 1 при <math>n \to \infty \;</math>. | ||
Вершина в графе называется изолированной, если она не имеет соседей. В связном графе изолированных вершин не существует. Асимптотическое распределение количества изолированных вершин задается следующей теоремой [2, 6, 14]. | Вершина в графе называется изолированной, если она не имеет соседей. В связном графе изолированных вершин не существует. Асимптотическое распределение количества изолированных вершин задается следующей теоремой [2, 6, 14]. | ||
'''Теорема 1. Пусть <math>r_n = \sqrt { \frac{ln \; n + \xi}{\pi \; n} }</math>, а <math>\Omega \;</math> – круг или квадрат единичной площади. Количество изолированных вершин в <math>G_r ( \ | '''Теорема 1. Пусть <math>r_n = \sqrt { \frac{ln \; n + \xi}{\pi \; n} }</math>, а <math>\Omega \;</math> – круг или квадрат единичной площади. Количество изолированных вершин в <math>G_r ( \mathcal{X}_n (\Omega)) \;</math> или <math>G_r (\mathcal{P}_n (\Omega)) \;</math> является асимптотически пуассоновским со средним значением <math>e^{- \xi} \;</math>.''' | ||
Согласно этой теореме, вероятность события, заключающегося в том, что в графе нет изолированных вершин, асимптотически равна <math>exp \big( - e^{- \xi} \big) \;</math>. По утверждению теории случайных геометрических графов, в графе нет изолированных вершин, он почти наверное является связным. Из этого следует формулировка теоремы 2 [6, 8, 9]. | Согласно этой теореме, вероятность события, заключающегося в том, что в графе нет изолированных вершин, асимптотически равна <math>exp \big( - e^{- \xi} \big) \;</math>. По утверждению теории случайных геометрических графов, в графе нет изолированных вершин, он почти наверное является связным. Из этого следует формулировка теоремы 2 [6, 8, 9]. | ||
''' | |||
Теорема 2. Пусть <math>r_n = \sqrt { \frac{ln \; n + \xi}{\pi \; n} }</math>, а <math>\Omega \;</math> – круг или квадрат единичной площади. Тогда:''' | |||
<math>Pr[G_r(\mathcal{X}_n (\Omega))</math> является связным <math>] \to exp(-e^{- \xi})</math> и | |||
Pr[ | <math>Pr[G_r(\mathcal{P}_n (\Omega))</math> является связным <math>] \to exp(-e^{- \xi})</math>. | ||