4551
правка
Метрическая задача коммивояжера: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
м
Метрическая задача коммивояжера (посмотреть исходный код)
Версия от 01:23, 24 августа 2016
, 24 августа 2016→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 22: | Строка 22: | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Простой 2-аппроксимацией метрической задачи коммивояжера является алгоритм удвоения дерева. Он использует минимальные остовные деревья для вычисления гамильтоновых обходов. | Простой 2-аппроксимацией метрической задачи коммивояжера является алгоритм удвоения дерева. Он использует минимальные остовные деревья для вычисления гамильтоновых обходов. [[Остовное дерево]] T графа G = (V, E, w) представляет собой связный ациклический подграф G, содержащий все вершины E. Вес w(T) такого остовного дерева равен сумме весов его ребер, т.е. w(T) = Pe2T w(e). Остовное дерево является минимальным, если его вес минимален среди всех остовных деревьев G. Можно эффективно вычислить минимальное остовное дерево, например, при помощи алгоритмов Прима или Крускала (см., например, [5]). | ||
| Строка 78: | Строка 78: | ||
Доказательство. Вначале отметим, что количество вершин с нечетной степенью в остовном дереве является четным, поскольку сумма степеней всех вершин равна 2(n — 1), а это четное число. Таким образом, совершенное паросочетание на U существует. Вес эйлерова обхода, очевидно, составляет w(T) + w(M). Согласно лемме 1, w(T) < OPT. Согласно лемме 3, w(M) < OPT/2. Вес w(H) вычисленного обхода H не превышает веса эйлерова обхода согласно неравенству треугольника, т.е. w(H) < |OPT. Таким образом, полученный алгоритм представляет собой алгоритм 3/2-аппроксимации, время выполнения которого составляет O(n3). □ | Доказательство. Вначале отметим, что количество вершин с нечетной степенью в остовном дереве является четным, поскольку сумма степеней всех вершин равна 2(n — 1), а это четное число. Таким образом, совершенное паросочетание на U существует. Вес эйлерова обхода, очевидно, составляет w(T) + w(M). Согласно лемме 1, w(T) < OPT. Согласно лемме 3, w(M) < OPT/2. Вес w(H) вычисленного обхода H не превышает веса эйлерова обхода согласно неравенству треугольника, т.е. w(H) < |OPT. Таким образом, полученный алгоритм представляет собой алгоритм 3/2-аппроксимации, время выполнения которого составляет O(n3). □ | ||
== Применение == | == Применение == | ||