Сепараторы в графах: различия между версиями

Узким местом алгоритма поиска сбалансированного сепаратора является решение линейной программы для задачи управления несколькими товарными потоками. Для таких линейных программ было предложено немало быстрых приближенных решений [19, 22, 25]. В большинстве следующих работ алгоритм формирует <math>(1 + \epsilon)</math>-аппроксимацию, скрытая константа которой зависит от <math>\epsilon^{-2} \;</math>. Гарг и Конеманн [15], Флейшер [14] и Каракостас [16] предложили эффективные схемы аппроксимации для задачи управления несколькими товарными потоками и сопутствующих задач с временем исполнения <math>\tilde{O}((k + m) \;m)</math> [15] и <math>\tilde{O} (m^2) \;</math> [14,16]. Бенцур и Карджер [7] предложили O(log n)-аппроксимацию задачи поиска самого неплотного сечения на базе рандомизированного алгоритма нахождения минимального разреза с временем исполнения <math>\tilde{O}(n^2) \;</math>. Наиболее быстрая на данный момент O(log n)-аппроксимация задачи поиска самого неплотного сечения (сбалансированного сепаратора) основана на прямо-двойственном подходе к полуопределенному программированию, предложена Аророй и Кейлом [3] и исполняется за время <math>O(m + n^{3/2})(\tilde{O}(m + n^{3/2})</math>, соответственно). В той же статье приведен алгоритм <math>O(\sqrt{log \; n})</math>-аппроксимации с временем исполнения <math>O(n^2)(\tilde{O}(n^2) \;</math>, соответственно), улучшивший предыдущее время <math>\tilde{O}(n^2) \;</math> Ароры и др. [2]. Если <math>O(log^2 \; n)</math>-аппроксимация оказывается достаточной, то самое неплотное сечение может быть найдено за время <math>\tilde{O}(n^{3/2}) \;</math>, а сбалансированный сепаратор – за время <math>\tilde{O}(m + n^{3/2}) \;</math> [17].