Сепараторы в графах: различия между версиями

Шахрохи и Матула [27] предложили теорему о максимальном потоке и минимальном сечении для специального случая задачи управления несколькими товарными потоками и использовали схожий подход на основе линейного программирования для доказательства полученного результата. Верхняя граница O(log n) для произвольного уровня спроса была доказана в работах Аумана и Рабани [6] и Линиала и др. [26]. В обоих случаях решение двойственной линейной программы для управления несколькими товарными потоками интерпретируется как конечная метрика и вкладывается в <math>\ell_1 \;</math> с искажением O (log n) при помощи вложения Бургейна [10]. Полученная в результате метрика <math>\ell_1 \;</math> представляет собой выпуклую комбинацию метрик сечений, из которой может быть извлечено сечение, с коэффициентом неплотности (разреженности), который должен быть не ниже, чем коэффициент в сочетании.

Арора и др. [5] предложили алгоритм псевдоаппроксимации с коэффициентом <math>O(\sqrt {log \; n})</math> для нахождения сбалансированных сепараторов в случае однородных либо взвешенных потоков, основанный на полуопределенной релаксации. Для неоднородной версии лучшую границу O( log n log log n) демонстрирует алгоритм Ароры и др. [4]. Хот и Вишной [18] показали, что для неоднородной версии задачи полуопределенная релаксация [5] имеет разрыв целостности не менее <math>(log \; log \; n)^{1/6 - \delta}</math> для любого <math>\delta > 0 \;</math> и, более того, согласно их гипотезе об уникальной игре, (псевдо)аппроксимация задачи о сбалансированном сепараторе с любым константным коэффициентом является NP-полной. Краутгамер и Рабани [20] усилили разрыв целостности в задаче полуопределенного программирования (SDP) до <math>\Omega (log \; log \; n)</math>. Деванур и др. продемонстрировали разрыв целостности в размере <math>\Omega (log \; log \; n)</math> для формулировки задачи SDP даже в однородном случае.