Приближенные решения для биматричного равновесия Нэша: различия между версиями

''Биматричные игры'' [18] – это специальный случай игр для двух игроков, в которых функции выигрыша могут быть описаны двумя действительными матрицами <math>n</math> × <math>m</math> – <math>A</math> и <math>B</math>. <math>n</math> строк матриц <math>A</math> и <math>B</math> представляют множество действий первого игрока (''игрока по строкам''), <math>m</math> столбцов представляют множество действий второго игрока (''игрока по столбцам''). Если игрок по строкам выбирает действие <math>i</math>, а игрок по столбцам выбирает действие <math>j</math>, то первый получает выигрыш <math>a_{ij}</math>, а второй – выигрыш <math>b_{ij}</math>. В силу этого биматричные игры обозначаются как <math>\Gamma = \langle A,B \rangle</math>.

:''Стратегия'' для игрока представляет собой любое распределение вероятностей на его наборе действий. Таким образом, стратегия для игрока по строкам может быть выражена в виде вектора вероятности <math>\mathbf{x} \in \mathbb{P}_n</math>, а стратегия для игрока по столбцам – в виде вектора вероятности <math>\mathbf{y} \in \mathbb{P}_n</math>. Каждая точка экстремума <math>\mathbf{e_i} \in \mathbb{P}_n</math> (<math>\mathbf{e_i} \in \mathbb{P}_n</math>), соответствующая стратегии, назначающей вероятность 1 <math>i</math>-й строке (<math>j</math>-му столбцу), называется чистой стратегией для игрока по строке (столбцу). Профиль стратегии (<math>\mathbf{x}</math>, <math>\mathbf{y}</math>) представляет собой комбинацию (в общем случае смешанных) стратегий, по одной для каждого игрока. Для данного профиля стратегии (<math>\mathbf{x}</math>, <math>\mathbf{y}</math>), игроки получают ''ожидаемый выигрыш'' <math>\mathbf{x}^T</math> <math>A \mathbf{y}</math> (игрок по строкам) и <math>\mathbf{x}^T</math> <math>B \mathbf{y}</math> (игрок по столбцам).