Замкнутое полукольцо

Замкнутое полукольцо (Closed semiring) — полукольцо [math]\displaystyle{ S }[/math] с двумя дополнительными свойствами: (а) если [math]\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots }[/math] есть счетная последовательность элементов [math]\displaystyle{ S }[/math], то существует и является единственной сумма

[math]\displaystyle{ a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots, }[/math]

причем порядок, в котором производится сложение различных элементов, несуществен; (б) операция умножения "[math]\displaystyle{ \cdot }[/math]" дистрибутивна относительно конечных и счетно-бесконечных сумм. На замкнутых полукольцах может быть определена унарная операция, называемая замыканием. Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] — некоторый элемент из [math]\displaystyle{ S }[/math]; тогда степени [math]\displaystyle{ a }[/math] могут быть определены следующим образом:

[math]\displaystyle{ a^{0} = 1; }[/math]

[math]\displaystyle{ a^{n} = a \cdot a^{n-1}\mbox{ для всех } n \gt 0. }[/math]

Тогда замыкание [math]\displaystyle{ a^{\ast} }[/math] можно определить как

[math]\displaystyle{ a^{\ast} = 1 + a + a^{2} + \ldots + a^{n} + \ldots. }[/math]

Из свойств полуколец вытекает, что

[math]\displaystyle{ a^{\ast} = 1 + a \cdot a^{\ast}. }[/math]

Замкнутые полукольца находят применения в различных областях вычислительной техники: в теории автоматов, теории грамматик, теории рекурсии и неподвижных точек, последовательных машинах, матричной обработке, а также в решении различных задач теории графов, например при разработке алгоритмов нахождения кратчайших путей, транзитивного замыкания и др.

Литература

• Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979.

• Толковый словарь по вычислительным системам. — М.: Машиностроение, 1991.