4.5.3 Упражнения

1. Преобразовать заданную последовательность символов, удалив

(1) из каждой группы идущих подряд цифр все четные цифры, начиная с третьей,
(2) из каждой группы цифр, которой не предшествует точка, все начальные нули,
(3) из каждой группы идущих подряд букв все буквы, расположенные в группе на четных позициях,
(4) все цифры, которым предшествует число пробелов кратное пяти,
(5) первую и последнюю буквы из каждой максимальной серии букв, длина которой превышает 3.

2. Задана последовательность идентификаторов, разделенных между собой пробелами (одним или несколькими). Определить

(1) число идентификаторов,
(2) длину идентификатора, предшествующего последнему вхождению идентификатора END,
(3) есть ли идентификатор, начинающийся на "А" и кончающийся на "В",
(4) сколько раз встречается идентификатор IF,
(5) количество идентификаторов, у которых первый и последний символ совпадают между собой.

3. Дано натуральное число $n$. Получить

(1) натуральное число, не превосходящее $n$ и имеющее максимальную сумму четных делителей,
(2) все натуральные числа, меньшие $n$ и взаимно простые с $n$,
(3) все простые делители числа $n$,
(4) наибольшее натуральное число, меньшее $n$ и представимое двумя разными способами в виде суммы кубов двух натуральных чисел,
(5) все натуральные числа, меньшие $n$, каждое из которых равно сумме всех своих делителей, за исключением себя самого (например, 6 = 1+2+3),
(6) представление числа $n$ в виде суммы трех квадратов натуральных чисел (если таких чисел нет, то сообщить об этом),
(7) представление числа $n!$ в виде произведения трех натуральных чисел,
(8) все способы выплаты суммы $n$ копеек с помощью монет достоинством 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 копеек,
(9) выплату суммы $n$ копеек заданным количеством монет достоинством в 1, 5, 10 и 20 копеек,
(10) все трехзначные натуральные числа, сумма цифр которых равна $n$.

4. Заданы натуральное $n$ и последовательность символов длины $n$. Подсчитать, сколько целых чисел и сколько вещественных чисел содержит Паскаль-выражение, изображенное заданной последовательностью символов.

5. Выступление каждого певца, участвовавшего в конкурсе, независимо оценивалось всеми слушателями. При подведении итогов из всей совокупности оценок, полученных одним певцом, удалялась одна наиболее высокая оценка и одна наиболее низкая, а для оставшихся оценок вычислялось среднее арифметическое, которое и шло в зачет певцу. Задана последовательности оценок, выставленных всеми слушателями всем участникам конкурса, в которой оценки, полученные одним певцом, расположены подряд и отделяются нулем от оценок конкурсанта, выступавшего за ним. Определить число слушателей, пожелавших оценить заданного конкурсанта, и ту оценку, которая пошла в зачет этому участнику конкурса.

6. По заданным натуральным $n$ и m вычислить:
 

(1) $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac{1}{i^2+j^2}$,
(2) $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sin(i^3 + j^3)$,
(3) $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac {\cos^2 i - \sin^2j}{(i+j)^2}$,
(4) $\sum_{i=1}^n \sum_{j=m}^i \frac{(-1)^j j^2}{2i + j}$.

7. По заданной последовательности натуральных чисел

(1) построить последовательность цифр, выписывая для каждого числа те не кратные пяти цифры, которые входят в возрастающем порядке в запись числа,
(2) определить для каждой цифры количество чисел, в которые она входит,
(3) найти цифру, которая имеет наибольшее число вхождений в одно число,
(4) распечатать номер числа, у которого наименьшая сумма цифр,
(5) проверить, что все числа содержат цифру 2 или 3.

8. Заданы натуральные $n$ и $m$, а также значения $f_1(x_1),f_1(x_2),$$\ldots,$$f_1(x_n),$$f_2(x_1), f_2(x_2), \ldots,$$f_2(x_n),$$\ldots,$$f_m(x_1),$$f_m(x_2),\ldots, f_m(x_n)$ вещественных функций $f_1,f_2, \ldots,f_m$ в точках $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$. Определить, верно ли, что все функции монотонны в этих точках.

9. Дано натуральное число $n$. Определить, можно ли представить его в виде суммы трех квадратов натуральных чисел? Если можно, то

(1) указать тройку $m,k,p$ таких натуральных чисел, что $n = m^2 + k^2 + p^2$,
(2) указать все тройки $m,k,p$ таких натуральных чисел, что $n = m^2 + k^2 + p^2$.

10. Задана последовательность символов. Определить, есть ли в ней подпоследовательность, состоящая из всех букв от "А" до "Z", выписанных в алфавитном порядке.

11. Удалить все комментарии из заданного текста Паскаль-программы.

12. Заданы натуральное число $n$ и три вещественных числа $x,a$ и $b$. Для значений $х$, изменяющихся от $а$ до $b$ с шагом $\frac{b - a}{n}$, вычислить значения следующего выражения:

(1) $(1 + \frac{1}{x^2}) (1 + \frac{1}{x^3}) \ldots (1 +\frac {1}{x^n})$,
(2) $\frac{(x-2)(x-4)(x-8)\ldots (x-64)}{(x-1)(x-3)(x-7)\ldots(x-63)}$,
(3) $\sin x + \sin^{2}x + \ldots + \sin^{\min(n,10)}x$,
(4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x(x+1)} + \ldots + \frac{1}{x(x+1)+ \ldots (x+n)}$,
(5) $(1 + \frac{\sin x}{1!})(1 + \frac{\sin 2x}{2!})(1 + \frac{\sin 3x}{3!}) \ldots (1 + \frac{\sin 10x}{10!})$.

13. Рассматривается правило переноса русских слов, основанное на следующих требованиях: - в каждой из разделяемых частей должно быть две или более букв, из которых хотя бы одна -- гласная, - нельзя разделять согласную и следующую за ней гласную, - буквы "й", "ь", "ъ" считаются согласными, но перенос возможен только после них. Задана последовательность слов, в каждом из которых указаны все возможные знаки переноса (пример: се-ль-с-ко-хо-зяй-с-тве-н-ная). Слова не содержат прописных букв и отделены друг от друга непустыми сериями пробелов. Распечатать слова последовательности, размещая каждое с новой строки и отмечая те из них, в которых не все указанные переносы удовлетворяют рассмотренному правилу.

14. По правилам русского языка после букв "ж", "ч", "ш", "щ" пишется "и", "а", "у", а не "ы", "я", "ю". Слова исключения: жюри, брошюра, парашют. Проверить заданный текст на соблюдение указанных правил.

15. Выпуклый многоугольник на плоскости задан списком (координат) вершин, перечисленных в произвольном порядке. Расположить вершины в списке так, чтобы они перечислялись в порядке обхода многоугольника по часовой стрелке. Число вершин многоугольника не превышает 20.

16. На плоскости задано $n$, $n<30$, взаимодействующих материальных точек. Шаг взаимодействия состоит в том, что точка с наименьшей массой исчезает, передавая свою массу ближайшей к ней точке. Процесс продолжается до тех пор, пока не останется одна точка. Найти эту точку.

17. На плоскости задано $n$, $n<30$, материальных точек. Сохраняя центр тяжести множества точек неподвижным и перемещая к нему (или от него) каждую точку, уменьшить (соответственно увеличить) расстояния между точками и центром тяжести в одно и то же число раз так, чтобы стало заданным максимальное расстояние между точками множества.
 

© В.Н. Касьянов, Е.В.Касьянова, 2004