Параллельные алгоритмы вычисления компонент связности и минимальных остовных деревьев: различия между версиями

Пусть дан взвешенный неориентированный граф G с n вершинами и m ребрами. Необходимо вычислить [[минимальное остовное дерево]] (или остовный лес) графа G на параллельной машине с произвольным доступом к памяти (parallel random access machine, PRAM) без возможности одновременной записи.

Минимальное остовное дерево графа представляет собой остовное дерево с минимальной возможной суммой весов ребер. Параллельная машина с произвольным доступом к памяти (PRAM) – это абстрактная модель для разработки параллельных алгоритмов и понимания возможностей параллелизма. В этой модели процессоры (каждый из которых является машиной с произвольным доступом к памяти) работают синхронно, обмениваясь друг с другом сообщениями при помощи совместно используемой памяти. PRAM можно различать по тому обстоятельству, разрешается ли более чем одному процессору одновременно производить операции чтения и записи с одной и той же ячейкой совместно используемой памяти. Более строгой является модель с одновременным чтением и одновременной записью CRCW (concurrent-read, concurrent-write), более слабой – с эксклюзивным чтением и эксклюзивной записью, EREW (exclusive-read, exclusive-write). Введение в алгоритмы PRAM см. в работах Карпа и Рамачандрана [8] и Джаджи [5].

В параллельном контексте эти задачи решаются сходным образом. В случае CRCW PRAM обе задачи можно решить за время O(log n) при помощи n + m процессоров (см, например, Коул и Вишкин [3]). Используя рандомизацию, можно ограничиться для решения (n + m)/log n процессорами с ожидаемым временем исполнения O(log n) [2, 10].

В случае EREW PRAM для решения задач CC и MST в начале восьмидесятых были разработаны алгоритмы с временем исполнения <math>O(log^2 \;n)</math>. Некоторое время считалось, что для моделей с эксклюзивной записью (как для случая одновременного чтения, так и для эксклюзивного) невозможно улучшить временную границу <math>O(log^2 \; n)</math> [8]. Первый прорыв совершили Джонсон и Метаксас [6], предложившие алгоритмы с временем исполнения <math>O(log^{1.5} \; n)</math> для обеих задач. Чонг и Лэм вскоре улучшили этот результат до O(log n log log n). Если допускается рандомизация, то временная сложность может быть уменьшена до ожидаемого времени O(log n) в оптимальном случае [7, 10, 11]. Наконец, Чонг, Хан и Лэм [1] получили алгоритм для задач MST и CC с временем исполнения O(log n) для n + m процессоров, не требующий рандомизации. Заметим, что время <math>\Theta (log \; n)</math> является оптимальным, поскольку данные графовые задачи имеют не меньшую сложность, чем выполнение операции OR для n бит, для которой Кук и коллеги [4] показали, что она требует <math>\Omega (log \; n)</math> времени для PRAM с эксклюзивной записью, независимо от количества используемых процессоров.

Без потери общности будем считать, что все веса ребер различны. В таком случае граф G имеет уникальное минимальное остовное дерево; обозначим его как <math>T^*_G \;</math>. Пусть B – подмножество ребер графа G, не содержащих циклов. B естественным образом порождает множество деревьев <math>F = {T_1, T_2, ..., T_l} \;</math>: две вершины G принадлежат к одному дереву, если они связаны ребром из множества B. B называется <math>\lambda</math>-лесом, если каждое дерево <math>T \in F \;</math> имеет не менее <math>\lambda</math> вершин. Например, если множество B пусто, то B является 1-лесом; остовное дерево является n-лесом.

Пусть F' – произвольное подмножество F, включающее все деревья <math>T \in F \;</math> с числом вершин меньше <math>2 \lambda</math>. Для любого дерева из F' выберем его минимальное внешнее ребро (т.е. ребро с минимальным весом, соединяющее его с вершиной вне дерева). Обозначим множество таких ребер за B'. Можно показать, что B' состоит только из ребер, принадлежащих к <math>T^*_G \;</math>, а <math>B \cup B' \;</math> является <math>2 \lambda</math>-лесом. Это обстоятельство позволяет найти <math>T^*_G \;</math> за <math>\lfloor log \; n \rfloor</math> шагов следующим образом.

 

(б) <math>B_i \leftarrow \{ e \;</math> | ''e'' является минимальным внешним ребром <math>T \in F' \} \;</math>; <math>B \leftarrow B \cup B_i \;</math>

Различные стратегии выбора F0 на шагу 1а могут привести к получению различных Bi. Тем не менее, B[1; i] всегда является подмножеством TQ и порождает 2i-лес. В частности, В [ 1; \lfloor log \; n \rfloor ] порождает ровно одно дерево, которым и является TQ. Используя стандартные техники распараллеливания алгоритмов, каждый шаг можно реализовать за время O(log n) на машине EREW PRAM с линейным числом процессоров (см, например, [ ]). Таким образом, минимальное остовное дерево TQ может быть найдено за время O(log n). Большинство параллельных алгоритмов поиска MST используют подобный подход. Параллельные алгоритмы являются «последовательными» в том смысле, что вычисление Bi начинается только после нахождения Bi-1.

Алгоритм для EREW с временем исполнения O(log n), предложенный в [ ], основан на некоторых структурных свойствах, связанных с минимальными остовными деревьями, и способен вычислять элементы Bi более независимым образом. У этого алгоритма имеются <math>\lfloor log \; n \rfloor</math> одновременных потоков (поток представляет собой группу процессоров). Для <math>1 < i < \lfloor log \; n \rfloor</math>, поток (i) пытается вычислить Bi, начиная работу задолго до того, как поток (i-1) вычислит Bi-1, и получая результаты работы потоков от 1 до i-1 (т.е. Bi,--- ; 5;-i) по мере продвижения. Говоря более точно, алгоритм выполняется за <math>\lfloor log \; n \rfloor</math> меташагов, где каждый меташаг выполняется за время O(1). Поток (i) выдает в результате Bi по окончании i-го меташага. Вычисление потока (i) разбито на <math>\lfloor log \; n \rfloor</math> фаз. Вначале рассмотрим простой случай, когда i представляет собой степень двойки. Фаза 1 потока (i) начинается на (i/2 + 1)-м меташагу, т.е. когда B1 ; ■ ■ ; B i/2 уже доступны. Фаза 1 занимает не более i/4 меташагов и заканчивается на (i/2 + i/4)-м меташагу. Фаза 2 начинается на (i/2 + i/4 + 1)-м меташагу, т.е. когда уже доступны Bi/2+1; • • ; B i /2+i/4, и занимает i/8 меташагов. Каждая последующая фаза использует вдвое меньше меташагов, чем предшествующая ей. Последняя фаза (log i) начинается и заканчивается на i-м меташагу; заметим, что B доступно после (i-1)-го меташага.

Нахождение компонент связности или минимальных остовных деревьев представляет собой важнейший этап нескольких параллельных алгоритмов решения других графовых задач. Например, алгоритм Чонга-Хана-Лэма становится основой для алгоритма вычисления [[ушная декомпозиция|ушной декомпозиции]] и нахождения [[двусвязность|двусвязности]] с временем исполнения O(log n) без использования одновременных операций записи.

* ''[[Рандомизированные алгоритмы аппроксимации максимального потока]]