Метрическая задача коммивояжера: различия между версиями

Задача коммивояжера представляет собой NP-полную задачу. Это означает, что для ее решения не существует алгоритма с полиномиальным временем выполнения, если только не окажется верным P = NP. Одним из способов разрешения этой проблемы являются алгоритмы аппроксимации. [[Алгоритм аппроксимации]] задачи TSP с полиномиальным временем выполнения называется алгоритмом <math>\alpha \;</math>-аппроксимации, если обход H, полученный с его помощью, удовлетворяет неравенству <math>w(H) \le \alpha \cdot OPT(G) \;</math>. Здесь OPT(G) – вес обхода с минимальным весом для графа G. Если граф G понятен из контекста, можно записывать его просто в виде «OPT». Алгоритм <math>\alpha \;</math>-аппроксимации всегда дает в итоге допустимое решение, целевое значение которого не более чем в <math>\alpha \;</math> раз отличается от оптимального значения. Коэффициент <math>\alpha \;</math> также называется коэффициентом аппроксимации или гарантией эффективности. <math>\alpha \;</math> не обязательно должен быть константой; он может быть функцией, зависящей от размера входного экземпляра или количества вершин n.

Соответствующая задача носит название метрической задачи коммивояжера (Metric TSP). Для этой задачи существуют алгоритмы аппроксимации с константным коэффициентом. Отметим, что для решения метрической задачи коммивояжера достаточно найти обход, который посещает любую вершину не менее одного раза. При наличии такого обхода мы сможем найти гамильтонов обход с меньшим или равным весом за счет пропускания любой вершины, которую мы уже посещали. Согласно неравенству треугольника, вес нового обхода не может возрастать.

Простой 2-аппроксимацией метрической задачи коммивояжера является алгоритм удвоения дерева. Он использует минимальные остовные деревья для вычисления гамильтоновых обходов. [[Остовное дерево]] T графа G = (V, E, w) представляет собой связный ациклический подграф G, содержащий все вершины E. Вес w(T) такого остовного дерева равен сумме весов его ребер, т.е. <math>w(T) = \sum_{e \in TH} w(e) \;</math>. Остовное дерево является минимальным, если его вес минимален среди всех остовных деревьев G. Можно эффективно вычислить минимальное остовное дерево, например, при помощи алгоритмов Прима или Крускала (см., например, [5]).

Алгоритм удвоения дерева известен с давних времен. Следующая лемма доказывает верхнюю границу гарантии эффективности алгоритма удвоения дерева.

   Дано: полный неориентированный граф без циклов G = (V, E, w) с взвешенными ребрами и весовая функция <math>w: E \to \mathbb{Q}_{ \ge 0}</math>, удовлетворяющая неравенству треугольника.

   Требуется: найти гамильтонов обход для G, являющийся 2”-аппроксимацией.

   3: Вычислить эйлеров обход для T (например, при помощи поиска в глубину по T). При посещении вершины эйлерова обхода, которая ранее уже была посещена, эта вершина пропускается,

       и мы переходим к следующей непосещенной вершине эйлерова обхода. (Этот процесс называется сокращением обхода).

Доказательство. Если удалить любое ребро гамильтонова обхода G, получим остовное дерево G.

Доказательство. Согласно лемме 1, <math>w(T) \le OPT \;</math>. Поскольку мы удваиваем каждое ребро T, вес T’ составляет <math>w(T') = 2w(T) \le 2 OPT \;</math>. В результате сокращения обхода на шаге 3 путь в T' заменяется одним ребром. Согласно неравенству треугольника, сумма весов ребер на таком пути не меньше веса ребра, которым он заменяется. (Для произвольных весовых функций данный алгоритм оказывается недействительным). Следовательно, <math>w(H) \le w(T') \;</math>. Это доказывает утверждение по поводу эффективности аппроксимации.

Время выполнения определяется главным образом временем вычисления минимального остовного дерева – которое, очевидно, является полиномиальным.

Алгоритм Кристофидеса (алгоритм 2) представляет собой продуманное уточнение алгоритма удвоения дерева. Вначале он вычисляет минимальное остовное дерево. Затем для всех вершин, имеющих нечетную степень в T, он вычисляет совершенное паросочетание с минимальным весом. Паросочетание M для графа G называется паросочетанием на <math>U \subseteq V \;</math>, если все ребра M состоят из двух вершин подмножества U. Такое паросочетание называется [[совершенное паросочетание|совершенным]], если каждая вершина из U инцидентна ребру из M.

   Дано: полный неориентированный граф без циклов G = (V, E, w) с весовой функцией <math>w: E \to \mathbb{Q}_{ \ge 0}</math>, удовлетворяющей неравенству треугольника.

   Требуется: найти гамильтонов обход для G, являющийся 3/2”-аппроксимацией.

'''Лемма 3. Пусть <math>U \subseteq V \;</math>, #U нечетно. Пусть M – совершенное паросочетание с минимальным весом на U. Тогда <math>w(M) \le OPT/2 \;</math>.'''

Доказательство. Пусть H – оптимальный гамильтонов обход на G. Выполняем сокращение в H, получая обход H' на <math>G|_U \;</math> следующим образом: H порождает перестановку вершин в U, представляющую собой порядок, в котором они посещаются по ходу H. Соединим вершины U в порядке, заданном перестановкой. Каждому ребру в H' соответствует путь в H, соединяющий две вершины этого ребра. Согласно неравенству треугольника, <math>w(H') \le w(H) \;</math>. Поскольку #U является четным, H' представляет собой объединение двух паросочетаний. Вес более легкого из них не превышает <math>w(H')/2 \le OPT/2 \;</math>.

Теорема 4. Алгоритм 2 представляет собой алгоритм 3/2-аппроксимации с полиномиальным временем выполнения.

Анализ алгоритма 2 несложен. Примером может служить метрическое пополнение графа, изображенного на рис. 1. Его единственное минимальное остовное дерево состоит из всех сплошных ребер. Оно содержит только две вершины с нечетными степенями. Ребро между этими двумя вершинами имеет вес <math>(1 + \epsilon)(n + 1) \;</math>. Сокращений не требуется; вес обхода, вычисленного алгоритмом, равен <math>\approx 3 n \;</math>. Оптимальный обход состоит из всех пунктирных ребер, а также самого левого и самого правого сплошных ребер. Вес этого обхода составляет <math>(2n - 1)(1 + \epsilon) + 2 \approx 2n \;</math>.

Вопрос о существовании алгоритма аппроксимации с лучшей гарантией эффективности является главным нерешенным вопросом а теории алгоритмов аппроксимации.

В работе [3] было отмечено отклонение в 10-15% от оптимального (говоря точнее – от границы Хельда-Карпа) на различных экземплярах задачи.

На странице 8-го тура задач по реализации DIMACS по адресу www.research.att.com/~dsj/chtsp/ можно найти множество экземпляров.

Кристофидес не публиковал самостоятельно свой алгоритм. Он обычно цитируется как один из двух технических отчетов Университета Карнеги-Меллона – TR 388 Института индустриальных исследований (теперь он называется Школой бизнеса Теппера) и CS-93-13. Ни один из них в настоящее время не доступен в Университете Карнеги-Меллона [из личной переписки с Фрэнком Бальбахом Balbach, 2006 г.]. В материалах конференции были приведены тезисы объемом в 1 страницу. Однако алгоритм быстро проложил себе дорогу в учебники по теории алгоритмов; см., например, [7].