4551
правка
Метрическая задача коммивояжера: различия между версиями
Материал из WEGA
Метрическая задача коммивояжера (посмотреть исходный код)
Версия от 22:21, 21 августа 2016
, 21 августа 2016→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
== Основные результаты == | == Основные результаты == | ||
Простой 2-аппроксимацией метрической задачи коммивояжера является алгоритм удвоения дерева. Он использует минимальные остовные деревья для вычисления гамильтоновых | Простой 2-аппроксимацией метрической задачи коммивояжера является алгоритм удвоения дерева. Он использует минимальные остовные деревья для вычисления гамильтоновых обходов. Минимальное остовное дерево T графа G = (V, E, w) связный ациклические подграф G, содержащий все вершины E. Вес w(T) такого остовного дерева равен сумме весов его ребер, т.е. w(T) = Pe2T w(e). Остовное дерево является минимальным, если его вес минимален среди всех остовных деревьев G. Можно эффективно вычислить минимальное остовное дерево, например, при помощи алгоритмов Прима или Крускала (см., например, [5]). | ||
| Строка 26: | Строка 26: | ||
Дано: полный неориентированный граф без циклов G = (V, E, w) с взвешенными ребрами и весовая функция w: E ! Q>o, удовлетворяющая неравенству треугольника. | Дано: полный неориентированный граф без циклов G = (V, E, w) с взвешенными ребрами и весовая функция w: E ! Q>o, удовлетворяющая неравенству треугольника. | ||
Требуется: найти гамильтонов | Требуется: найти гамильтонов обход для G, являющийся 2”-аппроксимацией. | ||
| Строка 33: | Строка 33: | ||
2: Продублировать каждое ребро T и получить эйлеров мультиграф T’. | 2: Продублировать каждое ребро T и получить эйлеров мультиграф T’. | ||
3: Вычислить эйлеров | 3: Вычислить эйлеров обход для T (например, при помощи поиска в глубину по T). При посещении вершины эйлерова обхода, которая ранее уже была посещена, эта вершина пропускается, и мы переходим к следующей непосещенной вершине эйлерова обхода. (Этот процесс называется сокращением обхода). Вернуть полученный гамильтонов обход H. | ||
Алгоритм 1. Алгоритм удвоения дерева | Алгоритм 1. Алгоритм удвоения дерева | ||
| Строка 40: | Строка 40: | ||
Лемма 1. Пусть T – минимальное остовное дерево G = (V, E, w). Тогда w(T) < OPT. | Лемма 1. Пусть T – минимальное остовное дерево G = (V, E, w). Тогда w(T) < OPT. | ||
Доказательство. Если удалить любое ребро гамильтонова | Доказательство. Если удалить любое ребро гамильтонова обхода G, получим остовное дерево G. □ | ||
Теорема 2. Алгоритм 1 всегда возвращает гамильтонов | Теорема 2. Алгоритм 1 всегда возвращает гамильтонов обход, вес которого не более чем вдвое превышает вес оптимального обхода. Он имеет полиномиальное время выполнения. | ||
Доказательство. Согласно лемме 1, w(T) < OPT. Поскольку мы удваиваем каждое ребро T, вес T’ составляет w(T0) = 2w(T) < 2OPT. В результате сокращения | Доказательство. Согласно лемме 1, w(T) < OPT. Поскольку мы удваиваем каждое ребро T, вес T’ составляет w(T0) = 2w(T) < 2OPT. В результате сокращения обхода на шаге 3 путь в T’ заменяется одним ребром. Согласно неравенству треугольника, сумма весов ребер на таком пути не меньше веса ребра, которым он заменяется. (Для произвольных весовых функций данный алгоритм оказывается недействительным). Следовательно, w(T) < OPT. Это доказывает утверждение по поводу эффективности аппроксимации. | ||
Время выполнения определяется главным образом временем вычисления минимального остовного дерева – которое, очевидно, является полиномиальным. □ | Время выполнения определяется главным образом временем вычисления минимального остовного дерева – которое, очевидно, является полиномиальным. □ | ||
| Строка 57: | Строка 57: | ||
Дано: полный неориентированный граф без циклов G = (V, E, w) с весовой функцией w: E ! Q>o, удовлетворяющей неравенству треугольника. | Дано: полный неориентированный граф без циклов G = (V, E, w) с весовой функцией w: E ! Q>o, удовлетворяющей неравенству треугольника. | ||
Требуется: найти гамильтонов | Требуется: найти гамильтонов обход для G, являющийся 3/2”-аппроксимацией. | ||
| Строка 64: | Строка 64: | ||
2: Пусть U С V – множество всех вершин, имеющих нечетную степень в T. Для графа G вычислить совершенное паросочетание с минимальным весом M на U. | 2: Пусть U С V – множество всех вершин, имеющих нечетную степень в T. Для графа G вычислить совершенное паросочетание с минимальным весом M на U. | ||
3: Вычислить эйлеров | 3: Вычислить эйлеров обход для T [ M (рассматриваемый как мультиграф). | ||
4: Выполнить сокращение | 4: Выполнить сокращение обходов этого эйлерова обхода до гамильтонова обхода H. | ||
Алгоритм 2. Алгоритм Кристофидеса | Алгоритм 2. Алгоритм Кристофидеса | ||
