Линеаризуемость: различия между версиями

Ответ совпадает с вызовом, если имена их объектов и потоков совпадают. Вызовом метода является пара, состоящая из вызова и следующего подходящего ответа. Вызов ожидает своего завершения в истории, если за ним не следует подходящий ответ. Если H – история, то complete(H) – это подпоследовательность H, состоящая из всех совпадающих вызовов и ответов. История H является последовательной, если первым событием H является вызов, а за каждым вызовом (кроме, возможно, последнего) немедленно следует соответствующий ответ.

Пусть H – история. Потоковая подыстория H|P – это подпоследовательность событий в H с именем потока P. Объектовая подыстория H|x аналогично определяется для объекта x. Две истории H и H0 эквивалентны, если для каждого потока A; HjA = H0jA. История H хорошо согласована, если каждая потоковая подыстория H|A из H является последовательной. Обратите внимание, что подыстории потоков хорошо согласованной истории всегда последовательны, однако подыстории объектов не обязательно должны быть последовательными.

Последовательная спецификация объекта представляет собой префиксно-замкнутое множество последовательных историй объекта, которое определяет легальные истории этого объекта. Последовательная история H является легальной, если каждая подыстория объекта легальна. Метод является полным, если он определен для каждого состояния объекта, в противном случае он является частичным. (Например, метод deq(), который блокирует пустую очередь, является частичным, а метод, отбрасывающий исключение – полным).

История H определяет (нерефлексивный) частичный порядок ! H для вызовов ее методов: m0 ! H m1, если событие результата m0 происходит раньше события вызова m1. Если история H является последовательной, то порядок H является полным.

Пусть H – история, а x – объект, такой, что Hjx содержит вызовы методов m0 и m1. Вызов m0 !x m1, если m0 предшествует m1 в H|x. Заметим, что !x – полный порядок.

'''Определение 1'''. История H является линеаризуемой, если она может быть расширена (путем добавления некоторого, возможно, нулевого количества событий ответа) до истории H0 такой, что:

• L1 complete(H0) эквивалентна легальной последовательной истории S;

• L2 Если вызов метода m0 предшествует вызову метода m1 в H, то то же самое верно и в S.

S называется линеаризацией H. (У одной истории может быть несколько линеаризаций). Неформально, расширение H до H0 отражает идею о том, что некоторые ожидающие вызовы могут произвести эффект, даже если их ответы еще не были возвращены вызывающему.

Свойство является локальным, если все объекты в совокупности удовлетворяют этому свойству при условии, что каждый отдельный объект удовлетворяет ему. Линеаризуемость локальна:

'''Теорема 1. История H линеаризуема тогда и только тогда, когда H|x линеаризуема для любого объекта x.'''

Для каждого объекта x выберем линеаризацию H|x. Пусть Rx – множество ответов, добавленных к H|x для построения этой линеаризации, и пусть !x – соответствующий порядок линеаризации. Обозначим за H0 историю, построенную путем добавления к Я каждого ответа в Rx.

Порядки ! H и !x могут быть «свернуты» в один частичный порядок. Определим отношение ! на вызовах методов из complete(H0): для вызовов методов m и m,m ! m, если существуют вызовы методов m0;::: mn, такие, что m = niQ,m = mn, и для каждого i между 0 и n - 1, либо mi !x mi+1 для некоторого объекта x, либо mi ! Hm i+1.

Оказывается, что ! является частичным порядком. Очевидно, что ! транзитивен. Осталось показать, что ! антирефлексивен: для всех x утверждение x ! x ложно.

Продолжим доказательство от противного. Если наше предположение неверно, то существуют вызовы методов m0...: mn, такие, что m0 ! m1 ! - - - -> mn;mn ! m0, и каждая пара непосредственно связана с некоторым !x или ! H.

Выберем цикл, длина которого минимальна. Предположим, что все вызовы метода связаны с одним и тем же объектом x. Поскольку -x является полным порядком, должны существовать два вызова метода m,_i и mi такие, что mi -1!H mi и mi !x mj-\, что противоречит линеаризуемости x.

Поэтому цикл должен включать вызовы методов как минимум двух объектов. Обозначим за m1 и m2 вызовы методов разных объектов (переиндексировав их при необходимости). Пусть x – объект, связанный с m1. Ни один из m 2... m n не может быть вызовом метода x. Утверждение справедливо для m2 по построению. Пусть mi – первый вызов метода в m3; mn, связанный с x. Поскольку m,_i и mi не связаны по ! x, они должны быть связаны по ! H, поэтому ответ m,_i предшествует вызову mi. Вызов m2 предшествует ответу m,_i, поскольку в противном случае mi -1!H m2, что дает более короткий цикл m2 ■ ■ : ; m,_i. Наконец, ответ m1 предшествует вызову m2, поскольку m1 !H m2 по построению. Отсюда следует, что ответ на m1 предшествует вызову mi, следовательно, m1 !H mi, что дает более короткий цикл m\,mi,... , mn.

Поскольку mn не является вызовом метода x, а mn ! m1, из этого следует, что mn !H m1. Но m1 !H m2 по построению, а так как !H транзитивно, то mn !H m2, что дает более короткий цикл m2... ; mn, что дает противоречие. <math>\square</math>

Линеаризуемость является неблокирующим свойством: ожидающий выполнения вызов полного метода никогда не должен ждать завершения другого ожидающего вызова.

'''Теорема 2. Пусть inv(m) – вызов полного метода. Если hx invPi является ожидающим вызовом в линеаризуемой истории H, то существует ответ hxresPi, такой, что история H-(xresP) линеаризуема.'''

Доказательство. Пусть S – любая линеаризация H. Если S включает ответ hx resPi на hx invPi, то доказательство тем самым завершается, так как S также является линеаризацией H ■ (x resPi. В противном случае hx invPi также не встречается в S, поскольку линеаризации, по определению, не включают ожидающих вызовов. Поскольку метод является полным, существует ответ hx resPi такой, что S0 = S-{x invP ■ (x res Pi является легальным. S0, однако, является линеаризацией H ■ (x resPi, и, следовательно, также является линеаризацией H. <math>\square</math>

Из этой теоремы следует, что линеаризуемость сама по себе никогда не приводит к блокировке потока с ожидающим вызовом полного метода. Конечно, блокировки (или даже взаимоблокировки) могут возникать как артефакты конкретных реализаций процесса линеаризации, но они не присущи самому свойству корректности. Данная теорема утверждает, что линеаризуемость является подходящим условием корректности для систем, в которых важны параллелизм и ответ в реальном времени. Альтернативные условия корректности, такие как сериализуемость [ ], не обладают этим свойством неблокируемости.

Свойство неблокируемости не исключает блокировку в ситуациях, когда она явно предполагается. Например, может быть разумным, чтобы поток, пытающийся произвести выгрузку из пустой очереди, блокировал ее, ожидая, пока другой поток не выгрузит элемент. Спецификация очереди отражает это намерение, делая спецификацию метода deq () частичной и оставляя его эффект неопределенным при применении к пустой очереди. Наиболее естественной параллельной интерпретацией частичной последовательной спецификации является простое ожидание, пока объект не достигнет состояния, в котором метод определен.

Последовательная согласованность [ ] представляет собой более слабое условие корректности, в котором выполняется требование L1, но не L2: вызовы методов должны происходить по одному в некотором последовательном порядке, но неперекрываюмиеся вызовы могут быть переупорядочены. Любая линеаризуемая история является последовательно согласованной, однако обратное неверно. Последовательная согласованность допускает больший параллелизм, но это не локальное свойство: система, состоящая из множества последовательно согласованных объектов, вовсе не обязательно сама является последовательно согласованной.

Большая часть работ по базам данных и распределенным системам использует сериализуемость как основное условие корректности параллельных вычислений. В этой модели транзакция представляет собой «поток управления», который применяет конечную последовательность методов к набору объектов, общих с другими транзакциями. История является сериализуемой, если она эквивалентна той, в которой транзакции выполняются последовательно, то есть без чередования. История строго сериализуема, если порядок транзакций в последовательной истории совместим с их порядком предшествования: если каждый вызов метода одной транзакции предшествует каждому вызову метода другой, то первая сериализуется раньше второй. (Линеаризуемость можно рассматривать как частный случай строгой сериализуемости, в котором транзакции состоят только из одного метода, применяемого к одному объекту).

Ни сериализуемость, ни строгая сериализуемость не являются локальными свойствами. Если разные объекты сериализуют транзакции в разном порядке, то не может быть порядка сериализации, общего для всех объектов. Сериализуемость и строгая сериализуемость являются блокирующими свойствами: при определенных обстоятельствах транзакция может быть не в состоянии завершить ожидающий метод, не нарушая сериализуемости. Если несколько транзакций блокируют друг друга, возникает ситуация взаимоблокировки. Для таких транзакций необходимо выполнить откат и перезапуск, что подразумевает наличие дополнительных механизмов для этой цели.

Понятие линеаризуемости было предложено Херлихи и Винг [3], последовательной согласованности – Лампортом [4], а сериализуемости Эсвараном и коллегами [1].