Сложность биматричного равновесия Нэша: различия между версиями

Захватывающий прорыв, достигнутый Даскалакисом, Голдбергом и Пападимитриу [4] для игр с четырьмя или более игроками, свидетельствует о том, что вычисление равновесия Нэша, вероятно, является трудным. Было доказано, что задача является '''PPAD'''-полной (аргументы полиномиальной четности на ориентированных графах – polynomial parity argument, directed version) – этот класс сложности был введен Пападимитриу в работе [9]. Результаты в [4] основываются на технике, разработанной в [6]. Затем эта оценка сложности была улучшена для случая трех игроков Ченом и Денгом [1], а также Даскалакисом и Пападимитриу [5] – независимо друг от друга и с использованием разных доказательств. Наконец, Чен и Денг [2] доказали, что NASH – задача нахождения равновесия Нэша в биматричной игре (или игре для двух игроков) – является PPAD-полной.

Бинарное отношение <math>R \subset \{ 0, 1 \}^* \times \{0, 1 \}^*</math> является ''полиномиально сбалансированным'', если существует полином ''p'', такой, что для всех пар <math>(x, y) \in R</math> верно <math>|y| \le p(|x|)</math>. Это отношение ''вычислимо за полиномиальное время'', если для каждой пары (x,y) можно решить, верно ли <math>(x, y) \in R</math>, за время, полиномиальное относительно |x| + |y|. NP-полная задача поиска <math>Q_R</math>, задаваемая R, определяется следующим образом:

Отношение R является ''полным'', если для каждого <math>x \in \{0, 1 \}^*</math> существует y, такое, что <math>(x, y) \in R</math>. Следуя [7], обозначим за TFNP класс всех NP-полных задач поиска, заданных полными отношениями. Задача поиска <math>Q_{R_1} \in TFNP</math> ''полиномиально сводима'' к задаче <math>Q_{R_2} \in TFNP</math>, если существует пара полиномиально вычислимых функций (f, g), таких, что для каждого x из <math>R_1</math> в случае, если y удовлетворяет условию <math>(f(x), y) \in R_2</math>, верно <math>(x, g(y)) \in R_1</math>. Более того, <math>Q_{R_1}</math> и <math>Q_{R_2}</math> полиномиально эквивалентны, если <math>Q_{R_2}</math> также сводима к <math>Q_{R_1}</math>.

Класс сложности PPAD является подклассом TFNP, содержащим все задачи поиска, которые полиномиально сводимы к:

Задача поиска в PPAD называется ''полной'' в PPAD (или PPAD-полной), если существует редукция от LEAFD до нее за полиномиальное время.

'''Теорема [2]. Задачи 2-NASH и NASH являются PPAD-полными.'''

Хотя многие считают, что PPAD является трудным для P, однако веских доказательств или интуитивных соображений в пользу этого мнения нет. Остается открытым естественный вопрос: можно ли строго доказать, что класс PPAD является трудным, при одном из общепринятых в теоретической информатике предположений, таких как «NP не находится в P» или «существует вычислительно необратимая функция»? Такой результат был бы чрезвычайно важным как для теории вычислительной сложности, так и для теории алгоритмических игр.