4446
правок
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 81: | Строка 81: | ||
Теорема 3 говорит о том, что даже если не существует эффективной реализации оракула, как, например, в случае, когда оракул решает NP-полную задачу, достаточно будет полностью полиномиальной схемы | Теорема 3 говорит о том, что даже если не существует эффективной реализации оракула, как, например, в случае, когда оракул решает NP-полную задачу, достаточно будет полностью полиномиальной аппроксимационной схемы. | ||
Строка 114: | Строка 114: | ||
== Применение == | == Применение == | ||
Представленные выше результаты могут использоваться для получения быстрой аппроксимации для линейных программ, даже если эти программы могут быть решены точно при помощи LP-алгоритмов. Многие алгоритмы | Представленные выше результаты могут использоваться для получения быстрой аппроксимации для линейных программ, даже если эти программы могут быть решены точно при помощи LP-алгоритмов. Многие аппроксимационные алгоритмы основаны на округлении решения таких программ, так что при необходимости можно решить нужные задачи приближенно (в этом случае общий коэффициент аппроксимации поглощает коэффициент аппроксимации LP-решения), зато более эффективно. Упоминаемые здесь два примера подобного подхода были приведены в работе [7]. | ||
Теоремы 1 и 2 можно применить для улучшения времени выполнения алгоритма Ленстры, Шмойса и Тардош [5] для планирования несвязанных параллельных машин без вытеснения <math>(R||C_{max})</math>. Пусть N заданий нужно спланировать для M машин, чтобы каждое задание i было включено в план ровно для одной машины j с временем обработки <math>p_{ij}</math>, так, чтобы совокупное время обработки по всем машинам было минимальным. Тогда для любого фиксированного r > 1 существует детерминированный алгоритм (1 + r)-аппроксимации, выполняющийся за время <math>O(M^2N \; log^2 N \; log \; M)</math>, и рандомизированная версия, выполняющаяся за ожидаемое время <math>O(M N \; log \; M \; log \; N)</math>. Для версии задачи с вытеснением существуют схемы | Теоремы 1 и 2 можно применить для улучшения времени выполнения алгоритма Ленстры, Шмойса и Тардош [5] для планирования несвязанных параллельных машин без вытеснения <math>(R||C_{max})</math>. Пусть N заданий нужно спланировать для M машин, чтобы каждое задание i было включено в план ровно для одной машины j с временем обработки <math>p_{ij}</math>, так, чтобы совокупное время обработки по всем машинам было минимальным. Тогда для любого фиксированного r > 1 существует детерминированный алгоритм (1 + r)-аппроксимации, выполняющийся за время <math>O(M^2N \; log^2 N \; log \; M)</math>, и рандомизированная версия, выполняющаяся за ожидаемое время <math>O(M N \; log \; M \; log \; N)</math>. Для версии задачи с вытеснением существуют аппроксимационные схемы с полиномиальным временем выполнения, требующие <math>O(M N^2 log^2 N)</math> времени и <math>O(M N \; log \; N \; log \; M)</math> ожидаемого времени для детерминированного и рандомизированного случая, соответственно. | ||
Для метрической задачи коммивояжера для N вершин хорошо известна граница Хельда-Карпа [2], которую можно представить как оптимум линейной программы над ''политопом с удалением подциклов''. Используя рандомизированный алгоритм нахождения минимального разреза Каргера и Штейна [3], можно получить рандомизированную схему | Для [[Метрическая задача коммивояжера|метрической задачи коммивояжера]] для N вершин хорошо известна граница Хельда-Карпа [2], которую можно представить как оптимум линейной программы над ''политопом с удалением подциклов''. Используя рандомизированный алгоритм нахождения минимального разреза Каргера и Штейна [3], можно получить рандомизированную аппроксимационную схему, вычисляющую границу Хельда-Карпа за ожидаемое время <math>O(N^4 \; log^6 N)</math>. | ||
== Открытые вопросы == | == Открытые вопросы == | ||
Основным открытым вопросом является дальнейшее сокращение времени выполнения приближенных решений различных дробно-линейных задач. Одно потенциальное направление заключается в улучшении границ для конкретных задач, что было успешно проделано для задачи управления несколькими товарными потоками в серии статей, начатой работой Шарохи и Матулы [8]. Из той же отправной точки вышла серия результатов Григориадиса и Хачияна, независимо разработанных для [7], начиная с работы [1], в которой представлен алгоритм с числом вызовов, меньшим | Основным открытым вопросом является дальнейшее сокращение времени выполнения приближенных решений различных дробно-линейных задач. Одно потенциальное направление заключается в улучшении границ для конкретных задач, что было успешно проделано для задачи управления несколькими товарными потоками в серии статей, начатой работой Шарохи и Матулы [8]. Из той же отправной точки вышла серия результатов Григориадиса и Хачияна, независимо разработанных для [7], начиная с работы [1], в которой представлен алгоритм с числом вызовов, меньшим на коэффициент <math>log(m \varepsilon^{-1})/log \; m</math> по сравнению с теоремой 1. Значительные усилия были направлены на сокращение зависимости времени выполнения от ширины задачи или на уменьшение самой ширины (см, например, последовательные и параллельные алгоритмы для смешанной задачи упаковки и покрытия в [9]), так что это тоже может быть перспективным направлением для улучшения. | ||
Остается открытой задача из [7] по разработке схем | Остается открытой задача из [7] по разработке аппроксимационных схем для модели RAM, использующих только ''полилогарифмические по длине входных данных'' точность и работу для общего случая рассматриваемых задач. | ||
== См. также == | == См. также == |
правок