Протяженность геометрических сетей: различия между версиями

представляет собой обход, по которому необходимо идти при перемещении по сети G из точки p в точку q, вместо того чтобы пройти напрямую. Здесь |.| обозначает евклидову длину.

 

 

''Протяженность'' сети G задается следующим образом:

Пусть дано конечное множество S точек на плоскости. Требуется найти плоскую геометрическую сеть G = (V, E) с насколько возможно малой протяженностью <math>\sigma(G) \;</math>, такую, что S содержится в V. Значение  

<math>\Sigma(S) := inf \{ \sigma(G); G = (V, E) \;</math> – конечная плоская геометрическая сеть, где <math>S \subset V \} \;</math>

называется ''протяженностью множества точек'' S. Задача заключается в вычислении или ограничении <math>\Sigma(S) \;</math> для данного множества S.

[[Файл:DGN_1.png]]

Рис. 1. Триангуляции протяженности 1

'''Теорема 1 ([11]). Если множество S не содержится в одном из множеств вершин, изображенных на рис. 1, то <math>\Sigma(S) > 1 \;</math>.'''

 

Иначе говоря, если множество точек S не является одним из этих специальных множеств, то любая плоская сеть, множество вершин которой включает S, имеет протяженность выше некоторой нижней границы <math>1 + \eta(S) \;</math>. Доказательство теоремы 1 использует следующее соображение о плотности. Предположим, что каждая пара точек из S соединена отрезком прямой. Обозначим за S' объединение S и всех получившихся точек пересечения. Применим то же самое построение к S' и затем повторим процесс. Для множества предельных точек <math>S^\infty \;</math> верна следующая теорема. Она обобщает работы Хиллара и Ри [8], а также Исмаилеску и Радойчича [9], посвященные пересечениям прямых.

'''Теорема 2 ([11]). Если множество S не содержится в одном из множеств вершин, изображенных на рис. 1, то <math>S^\infty \;</math> плотно располагается в некоторой многоугольной части плоскости.'''

'''Теорема 3 ([4]). Пусть N – бесконечная плоская сеть, все грани которой имеют диаметр, ограниченный сверху некоторой константой. Тогда имеет место соотношение <math>\sigma(N) > 1,00156 \;</math>.'''

'''Теорема 4 ([4]). Обозначим за C (бесконечное) множество всех точек на замкнутой выпуклой кривой. Тогда имеет место соотношение <math>\Sigma(C) > 1,00157 \;</math>.'''

'''Теорема 5 ([4]). Пусть дано n семейств <math>F_i, 2 \le i \le n \;</math>, каждое из которых состоит из бесконечного числа равноудаленных параллельных прямых. Предположим, что эти семейства находятся в общем положении. Тогда протяженность их графа пересечений G составляет не менее <math>2 / \sqrt{3} \;</math>.'''

Доказательство теоремы 5 основано на теореме Кронекера об одновременной аппроксимации. Граница достигается при помощи упаковки равноугольных треугольников.

Наконец, можно получить общую верхнюю границу протяженности конечных множеств точек.

'''Теорема 6 ([4]). Каждое конечное множество точек S имеет протяженность <math>\Sigma(S) < 1,1247 \;</math>.'''

Для доказательства этой верхней границы встроим любое заданное конечное множество точек S в множество вершин масштабированной и слегка деформированной конечной части сети, представленной на рис. 2. Ее можно получить из упаковки равносторонних треугольников в результате замены каждой вершины маленьким треугольником и соединения соседних треугольников указанным образом.

Рис. 2. Сеть протяженностью ~ 1,1247

Д. Эпштейн [5] задался вопросом, что станет с газоном, если этот процесс будет продолжаться достаточно долго. Вышеприведенные результаты говорят о том, что, во-первых, часть газона будет полностью уничтожена и, во-вторых, искушение срезать дорогу через газон не может быть в общем случае сделано произвольно малым при помощи продуманной прокладки сети путей.

Для практического применения в дополнение к верхним границам протяженности пригодились бы верхние границы веса (т.е. общей длины ребер) геометрической сети. Некоторые теоретические вопросы также требуют дополнительного исследования. Всегда ли <math>\Sigma(S) \;</math> достигается для конечной сети? Как вычислить (точно или приближенно) <math>\Sigma(S) \;</math> для заданного конечного множества S? Даже для такого простого множества, как <math>S_5 \;</math>, представляющего собой углы правильного пятиугольника, протяженность неизвестна. Наименьшее известное значение протяженности – для триангуляции, среди вершин которой содержится <math>S_5 \;</math> – равно 1,0204 (см. рис. 3). Наконец, чему равно точное значение <math> sup \{ \Sigma(S); S \; finite \}</math>?