Полностью динамическая связность высоких степеней: различия между версиями

Пусть даны неориентированный граф G = (V, E) и целое число <math>k \ge 2</math>. Пара вершин hu; vi называется [[k-реберная связность|k-реберно-связной]], если при удалении любых (k — 1) ребер графа G вершины u и v остаются связанными. Нетрудно заметить, что в данном случае имеет место отношение эквивалентности: вершины графа G этим отношением разбиваются на классы эквивалентности, называемые k-реберно-связными компонентами. Граф G называется k-реберно-связным, если при удалении любых (k — 1) ребер G сохраняет связность. Согласно этим определениям, граф G является k-реберно-связным в том и только том случае, если любые две вершины G являются k-реберно-связными. Множество ребер <math>E' \subseteq E \; </math> является [[реберный разрез|реберным разрезом]] для вершин x и y, если удаление всех ребер, входящих в E', разбивает G на два графа, один из которых содержит x, а другой – y. Множество ребер <math>E' \subseteq E \; </math> является реберным разрезом для G, если удаление всех ребер, входящих в E', разбивает G на два графа. Реберный разрез E' графа G (для x и y, соответственно) является минимальным, если удаление любого ребра из E' восстанавливает связность G (x и y, соответственно). Мощность реберного разреза E', обозначаемая |E'|, задается числом ребер в E'. Реберный разрез E' графа G (вершин x и y, соответственно) называется реберным разрезом минимальной мощности или, вкратце, [[реберный разрез связности|реберным разрезом связности]], если не существует другого реберного разреза E" графа G (x и y, соответственно), такого, что |E"| < |E'|. Реберные разрезы связности, разумеется, являются минимальными реберными разрезами. Заметим, что G является k-реберно-связным в том и только том случае, если реберный разрез связности для G содержит не менее k ребер, а вершины x и y являются k-реберно-связными в том и только том случае, если реберный разрез связности для x и y содержит не менее k ребер. Реберный разрез связности, мощность которого равна 1, называется [[мост|мостом]].