4501
правка
Евклидова задача коммивояжера: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Евклидова задача коммивояжера (посмотреть исходный код)
Версия от 14:31, 23 января 2014
, 23 января 2014→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 50: | Строка 50: | ||
'''Теорема 4 (Арора [1]). Для каждого константного значения d евклидова задача коммивояжера на <math>\mathbb{R} ^d</math> имеет PTAS.''' | '''Теорема 4 (Арора [1]). Для каждого константного значения d евклидова задача коммивояжера на <math>\mathbb{R} ^d</math> имеет PTAS.''' | ||
Для каждого фиксированного значения c > 1 и любых n вершин из <math>\mathbb{R} ^d</math> существует рандомизированный алгоритм, который находит (1 + 1/c)-аппроксимацию для оптимального пути коммивояжера за время <math>O(n (log \; n)^{(O(\sqrt{d} c))^{d-1} })</math>. В частности, для любых константных значений d и c время исполнения составляет <math>O(n (log \; n)^{O(1)})</math>. Алгоритм может быть дерандомизирован, что увеличит время исполнения на коэффициент <math>O(n^d)</math>. | Для каждого фиксированного значения c > 1 и любых n вершин из <math>\mathbb{R} ^d</math> существует рандомизированный алгоритм, который находит (1 + 1/c)-аппроксимацию для оптимального пути коммивояжера за время <math>O(n (log \; n)^{(O(\sqrt{d} c))^{d-1} })</math>. В частности, для любых константных значений d и c время исполнения составляет <math>O(n (log \; n)^{O(1)})</math>. Алгоритм может быть дерандомизирован, что увеличит время исполнения на коэффициент <math>O(n^d) \; </math>. | ||
Рао и Смит [15] впоследствии расширили эту теорему, предложив следующую. | Рао и Смит [15] впоследствии расширили эту теорему, предложив следующую. | ||
Теорема 5 (Рао и Смит [15]). Существует детерминированный алгоритм, вычисляющий (1 + 1/c)-аппроксимацию | '''Теорема 5 (Рао и Смит [15]). Существует детерминированный алгоритм, вычисляющий <math>(1 + 1/c) \; </math>-аппроксимацию оптимальной траектории движения коммивояжера за время <math>O(2^{(cd)^{O(d)}} n + (cd)^{O(d)} n log \; n)</math>.''' | ||
оптимальной траектории движения коммивояжера за время n log n). | |||
Существует рандомизированный алгоритм Монте-Карло, который достигает успеха с вероятностью не менее 1/2, вычисляя (1 + 1/c)-аппроксимацию для оптимального пути коммивояжера за ожидаемое время {c\fd)°^c^d:) ) n + O(d n log n). | Существует рандомизированный алгоритм Монте-Карло, который достигает успеха с вероятностью не менее 1/2, вычисляя (1 + 1/c)-аппроксимацию для оптимального пути коммивояжера за ожидаемое время {c\fd)°^c^d:) ) n + O(d n log n). | ||