Максимальная выполнимость формул в 2-КНФ

Ключевые слова и синонимы

МАКС 2-ВЫП (MAX 2-SAT)

Постановка задачи

В задаче о максимальной выполнимости формул в 2-КНФ (которая далее будет обозначаться как MAX 2-SAT, или МАКС 2-ВЫП) на входе имеется булева формула в конъюнктивной нормальной форме, такая, что каждый дизъюнкт содержит не более двух литералов. Задача заключается в том, чтобы найти такое присваивание переменным формулы, при котором максимальное количество дизъюнктов выполнимы.

MAX 2-SAT представляет собой классическую задачу оптимизации. Гэйри, Джонсоном и Стокмайером [7] было показано, что ее версия с принятием решений (decision version) является NP-полной, что резко отличает ее от задачи 2-КНФ (2-ВЫП), которая решается за линейное время [2]. Чтобы получить представление о сложности проблемы, приведем краткое описание NP-полноты. Можно преобразовать любой экземпляр задачи 3-КНФ F в MAX-экземпляр 2-КНФ F', заменив каждый дизъюнкт F, такой, что:

$c_i=({\ell }_1\vee {\ell }_2\vee {\ell }_2)$, где ${\ell }_1,{\ell }_2$ и ${\ell }_3$ – произвольные литералы, коллекцией дизъюнктов в 2-КНФ

$({\ell }_1),({\ell }_2),({\ell }_3),(c_i),(\mathrm{\neg }{\ell }_1\vee \mathrm{\neg }{\ell }_2),(\mathrm{\neg }{\ell }_2\vee \mathrm{\neg }{\ell }_3),(\mathrm{\neg }{\ell }_1\vee \mathrm{\neg }{\ell }_3),({\ell }_1\vee c_i),({\ell }_2\vee c_i),({\ell }_3\vee c_i)$

где $c_i$ – новая переменная. Верны следующие утверждения:

• Если присваивание делает $c_i$ выполнимой, то из десяти дизъюнктов коллекции 2-КНФ могут быть выполнимыми ровно семь.

• Если присваивание делает $c_i$ невыполнимой, то ровно шесть из десяти дизъюнктов коллекции 2-КНФ могут быть выполнимыми.

Если F выполнима, то существует присваивание, делающее выполнимыми 7/10 дизъюнктов в F', в противном случае никакое присваивание не делает выполнимыми более чем 7/10 дизъюнктов в F'. Поскольку задача 3-ВЫП сводится к МАКС 2-ВЫП, из этого следует, что МАКС 2-ВЫП (как задача с принятием решений) NP-полна.

Нотация

КНФ-формула представляется в виде набора дизъюнктов.

Символы $\mathbb{R}$ и $\mathbb{Z}$ обозначают множества вещественных и целых чисел, соответственно. Буква $\omega$ обозначает наименьшее действительное число, такое, что для всех $ϵ>0$ умножение матрицы размера $n\times n$ над кольцом может быть выполнено за $О(n^{\omega +ϵ})$ кольцевых операций. В настоящее время известно, что $\omega <2,376$ [4]. Кольцевое матричное произведение двух матриц A и B обозначается как $A\times B$.

Пусть A и B – матрицы с элементами из $\mathbb{R}\cup \{\mathrm{\infty }\}$. Произведением расстояний между A и B (сокращенно записываемым как $A{\otimes }_{d}B$) называется матрица C, определяемая по формуле $C[i,j]=mi{n}_{k=1,...,n}\{A[i,k]+B[k,j]\}$.

Что касается m и n, то применительно к графам они обозначают количество ребер и вершин графа, соответственно. В то же время в КНФ-формулах m и n обозначают количество дизъюнктов и переменных, соответственно.

Основные результаты

Основным результатом данной статьи является процедура, решающая задачу MAX 2-SAT за время $O(m\cdot 2^{\omega n/3})$. Метод может быть обобщен для подсчета количества решений любой задачи оптимизации с ограничениями, в которой на одно ограничение приходится не более двух переменных (см. [17]), хотя изложение в данной статье будет несколько отличаться от приведенного в указанном источнике и будет значительно упрощено. Известно несколько других точных алгоритмов для MAX 2-SAT, работающих более эффективно в специальных случаях – например, на разреженных экземплярах задачи [3, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16]. Ниже описана единственная известная на момент написания статьи процедура, выполняемая за время $O(poly(m)\cdot 2^{\delta n})$ (при некотором фиксированном $\delta <1$) во всех возможных случаях.

Ключевая идея

Алгоритм производит редукцию от MAX 2-SAT к задаче MAX TRIANGLE, в которой на входе имеется граф с целочисленными весами вершин и ребер, а целью является вывод 3-цикла с максимальным весом. На первый взгляд существование такой редукции кажется странным, поскольку MAX TRIANGLE можно тривиально решить за время $O(n^3)$, перебрав все возможные 3-циклы. Суть в том, что редукция экспоненциально увеличивает размер задачи: от экземпляра MAX 2-SAT с m дизъюнктами и n переменными к экземпляра MAX TRIANGLE с $O(2^{2n/3})$ ребрами, $O(2^{n/3})$ вершинами и весами в диапазоне {-m, ..., m}.

Заметим, что если бы задаче MAX TRIANGLE требовалось $\mathrm{\Theta }(n^3)$ времени для решения, то полученный алгоритм для MAX 2-SAT выполнялся бы за время $\mathrm{\Theta }(2^n)$, что сделало бы приведенную выше редукцию бессмысленной. Однако оказалось, что перебор с временем выполнения $O(n^3)$ для MAX TRIANGLE – не лучшее, что можно сделать: существует алгоритм для решения этой задачи на основе быстрого умножения матриц, работающий за время $O(W{n}^{\omega })$ на графах с весами в диапазоне {-W, ..., W}.

Основной алгоритм

Сначала описывается редукция от MAX 2-SAT к MAX TRIANGLE, согласно которой каждый треугольник веса K в полученном графе находится в взаимно-однозначном соответствии с присваиванием, при котором становятся выполнимыми K дизъюнктов экземпляра MAX 2-SAT. Пусть a, b – вещественные числа, и пусть $\mathbb{Z}[a,b]:=[a,b]\cap \mathbb{Z}$.

Лемма 1. Если задача MAX TRIANGLE на графах с n вершинами и весами из $\mathbb{Z}[-W,W]$ разрешима за время $O(f(W)\cdot g(n))$ для полиномиальных f и g, то MAX 2-SAT разрешима за время $O(f(m)\cdot g(2^{n/3}))$, где m – количество дизъюнктов, а n – количество переменных.

Доказательство. Пусть C – заданная формула в 2-КНФ. Предположим без потери общности, что n кратно 3. Пусть F – экземпляр задачи MAX 2-SAT. Произвольным образом разобьем n переменных экземпляра F на три множества $P_1,P_2,P_3$, каждое из которых содержит n/3 переменных. Для каждого $P_i$ составим список $L_i$ из всех $2^{n/3}$ присваиваний переменным из $P_i$.

Определим граф $G=(V,E)$, где $V=L_1\cup L_2\cup L_3$ и $E=\{(u,v)|u\in P_i,v\in P_j,i\ne j\}$. Таким образом, G – это полный трехдольный граф с $2^{n/3}$ вершинами в каждой доле, и каждая вершина в G соответствует присваиванию n/3 переменным в C. Веса в вершинах и ребрах G распределяются следующим образом. Для вершины v определим w(v) как количество дизъюнктов, выполнимых в результате частичного присваивания, обозначенное как v. Для каждого ребра {u,v} определим $w(\{u,v\})=-W_{uv}$, где $W_{uv}$ – количество дизъюнктов, выполнимых одновременно u и v.

Определим вес треугольника в G как полную сумму всех весов и вершин в треугольнике.

Утверждение 1. Существует взаимно однозначное соответствие между треугольниками веса K в G и присваиваниями переменных, при которых ровно K дизъюнктов в F становятся выполнимыми.

Доказательство. Пусть a – присваивание переменной. Тогда существуют уникальные вершины $v_1\in L_1,v_2\in L_2,v_3\in L_3$, такие, что a в точности является конкатенацией $v_1,v_2,v_3$ как присваиваний. Более того, любая тройка вершин $v_1\in L_1,v_2\in L_2,v_3\in L_3$ соответствует присваиванию. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между треугольниками в G и присваиваниями в F.

Количество дизъюнктов, которые становятся выполнимыми при этом присваивании, в точности равно весу соответствующего треугольника. Чтобы убедиться в этом, обозначим за $T_a=\{v_1,v_2,v_3\}$ треугольник в G, соответствующий присваиванию a. Тогда

$w(T_a)=w(v_1)+w(v_2)+w(v_3)+w(\{v_1,v_2\})+w(\{v_2,v_3\})+w(\{v_1,v_3\})=\sum _{i=1}^3|\{c\in F|v_i$ выполним при $F\}|-\sum _{i,j:i\ne j}|\{c\in F|v_i,v_j$ выполнимы при $F\}|=|\{c\in F|a$ выполнимо при $F\}|$,

где последнее равенство следует из принципа включения-исключения. □

Заметим, что количество вершин в G равно $3\cdot 2^{n/3}$, а абсолютное значение веса любой вершины и любого ребра равно m. Поэтому, запустив на G алгоритм MAX TRIANGLE, решение MAX 2-SAT можно получить за время $O(f(m)\cdot g(3\cdot 2^{n/3}))$, что соответствует $O(f(m)\cdot g(2^{n/3}))$ в силу полиномиальности g. Этим завершается доказательство леммы 1. □

Далее описывается процедура нахождения максимального треугольника быстрее, чем с помощью простого перебора, с использованием быстрого умножения матриц. Алон, Галил и Маргалит [1] (вслед за Ювалем [20]) показали, что произведение расстояний для матриц с элементами из $\mathbb{Z}[-W,W]$ может быть вычислено с помощью быстрого умножения матриц в качестве подпрограммы.

Теорема 2 (Алон, Галил, Маргалит [1]). Пусть A и B – матрицы размера n x n с элементами из $\mathbb{Z}[-W,W]\cup \mathrm{\infty }$. Тогда произведение $A{\otimes }_{d}B$ может быть вычислено за время $O(W{n}^{\omega }logn)$.

Доказательство (набросок). Заменим элементы $\mathrm{\infty }$ в A и B на 2W + 1 следующим образом. Определим матрицы A' и B', где $A^{\prime }[i,j]=x^{3W-A[i,j]},B^{\prime }[i,j]=x^{3W-B[i,j]}$ и $x$ – переменная. Положим $C=A^{\prime }\times B^{\prime }$. Тогда $C[i,j]=\sum _{k=1}^n{x}^{6W-A[i,k]-B[k,j]}$.

На следующем шаге выберем такое число $x$, чтобы из суммы произвольных степеней $x$ было легко определить наибольшую степень $x$, встречающуюся в сумме; эта наибольшая степень сразу же дает минимум $A[i,k]+B[k,j]$. Каждый $C[i,j]$ – это полином от $x$ с коэффициентами из $\mathbb{Z}[0,n]$. Предположим, что каждый $C[i,j]$ оценивается при $x=n+1$. Тогда каждый элемент $C[i,j]$ можно рассматривать как (n + 1)-арное число, а положение старшей значащей цифры этого числа дает минимум $A[i,k]+B[k,j]$.

Суммируя все вышесказанное, $A{\otimes }_{d}B$ можно вычислить, построив $A^{\prime }[i,j]=(n+1{)}^{3W-A[i,j]]},B^{\prime }[i,j]=(n+1{)}^{3w-B[i,j]}$ за время O(W log n) на каждый элемент, вычисляя $C=A^{\prime }\times B^{\prime }$ за время $O(n^{\omega }\cdot (Wlogn))$ (так как размеры элементов равны O(W log n)), а затем извлекая минимум из каждого элемента $C$ за время $O(n^2\cdot Wlogn)$. Заметим, что если минимум для элемента $C[i,j]$ равен хотя бы $2W+1$, то $C[i,j]=\mathrm{\infty }$. □

Используя быстрый алгоритм произведения расстояний, можно решить задачу MAX TRIANGLE быстрее, чем простым перебором. Нижеследующее изложение основывается на алгоритм Итаи и Роде [10] для выявления наличия треугольника в невзвешенном графе менее чем за $n^3$ шагов. Результат может быть обобщен на подсчет количества k-клик для произвольного $k\ge 3$. (Для простоты изложения результат подсчета опущен. Что касается работы с k-кликами, то, к сожалению, не существует асимптотического преимущества во времени выполнения от использования алгоритма на k-кликах вместо алгоритма на треугольниках – по крайней мере, если говорить о лучших на сегодня алгоритмах для решения этих задач).

Теорема 3. Задача MAX TRIANGLE может быть решена за время $O(W{n}^{\omega }logn)$ для графов с весами из $\mathbb{Z}[-W,W]$.

Доказательство. Сначала демонстрируется, что весовая функция на вершинах и ребрах может быть преобразована в эквивалентную весовую функцию с весами только на ребрах. Пусть w – весовая функция над G. Переопределим веса следующим образом:

$w^{\prime }(\{u,v\})=\frac{w(u)+w(v)}{2}+w(\{u,v\}),w^{\prime }(u)=0$.

Обратите внимание, что вес треугольника при такой редукции остается неизменным.

Следующим шагом будет использование быстрого произведения расстояний для поиска треугольника с максимальным весом в реберно-взвешенном графе с n вершинами. Рассмотрим множество вершин G как множество {1, ..., n}. Определим A как матрицу размера n x n, такую, что A[i, j] = - w({i, j}), если существует ребро {i, j}, и A[i, j] = $\mathrm{\infty }$ в противном случае. Утверждение заключается в том, что треугольник с весом не менее K включает вершину i тогда и только тогда, когда $(A{\otimes }_{d}BA{\otimes }_{d}A)[i,j]\le -K$. Это объясняется тем, что данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда существуют отличные друг от друга j и k, такие, что {i, j}, {j, k}, {k, i} – ребра, и A[i, j] + A[j, k] + A[k, i] $\le$ -K, то есть w({i, j}) + w({j, k}) + w({k, i}) $\ge$ K.

Поэтому, найдя i, такой, что $(A{\otimes }_{d}BA{\otimes }_{d}A)[i,j]$ минимизировано, мы получим вершину i, содержащуюся в максимальном треугольнике. Для получения фактического треугольника следует проверить все m ребер {j, k} на предмет того, является ли {i, j, k} треугольником. □

Теорема 4. Задачу MAX 2-SAT можно решить за время $O(m\cdot 1,{732}^n)$.

Доказательство. Пусть дан набор дизъюнктов C. Применим редукцию из леммы 1, чтобы получить граф G с $O(2^{n/3})$ вершинами и весами из $\mathbb{Z}[-m,m]$. Применим алгоритм из Теоремы 3 для вывода максимального треугольника в G за время $O(m\cdot 2^{\omega n/3}log(2^{n/3}))=O(m\cdot 1,{732}^n)$, используя $O(n^{2,376})$ операций матричного умножения Копперсмита-Винограда [[1]] [4]. □

Применение

Модифицировав конструкцию графа, можно решать другие задачи за время $O(1,{732}^n)$, такие как MAX CUT (максимальный разрез), MINIMUM BISECTION (минимальная бисекция) и SPARSEST CUT (самое неплотное сечение). В целом, любая задача оптимизации с ограничениями, в которой каждое ограничение имеет не более двух переменных, может быть решена быстрее с помощью описанного выше подхода. Более подробную информацию можно найти в работе [17] и в недавнем обзоре Вёгингера [19]. Схожая с вышеприведенным алгоритмом техника была также использована Дорном [6] с целью ускорения динамического программирования для некоторых задач на планарных графах (и вообще на графах с ограниченной путевой шириной).

Открытые вопросы

• Необходимо улучшить использование памяти описанным выше алгоритмом. В настоящее время он требует $\mathrm{\Theta }(2^{2n/3})$. Очень интересен пока нерешенный вопрос: существует ли алгоритм для MAX 2-SAT со временем $O(1,{99}^n)$, использующий только полиномиальный объем памяти. На этот вопрос можно было бы ответить положительно, если бы удалось найти алгоритм решения задачи о k-кликах (k-CLIQUE) с полилогарифмическими затратами памяти и временем $n^{k\delta }$ для некоторых $\delta >0$ и $k\ge 3$.

• Хотелось бы найти алгоритм для MAX 2-SAT, работающий быстрее 2n и не требующий быстрого умножения матриц. Алгоритмы быстрого умножения матриц имеют печальную репутацию непрактичных.

• Следует обобщить вышеприведенный алгоритм для задачи MAX k-SAT, где k – любое целое положительное число. В текущей формулировке требуется эффективный алгоритм для нахождения малой гиперклики в гиперграфе. Однако для этой задачи неизвестны какие-либо результаты общего вида. Есть гипотеза, что для всех k > 2 MAX k-SAT решается за время 6(2"'1~*+T-)), исходя из предположения, что умножение матриц выполняется за время n2+o(1) [17].

См. также

• Алгоритм поиска кратчайших путей при помощи матричного произведения
• Максимальный разрез
• Минимальная бисекция
• Самое неплотное сечение

Литература

1. Alon, N., Galil, Z., Margalit, O.: On the exponent of the all-pairs shortest path problem. J. Comput. Syst. Sci. 54,255-262 (1997)

2. Aspvall, B., Plass, M.F., Tarjan R.E.: A linear-time algorithm for testing the truth of certain quantified boolean formulas. Inf. Proc. Lett. 8(3),121-123(1979)

3. Bansal, N., Raman, V.: Upper bounds for Max Sat: Further Improved. In: Proceedings of ISAAC. LNCS, vol. 1741, pp. 247-258. Springer, Berlin (1999)

4. Coppersmith, D., Winograd S.: Matrix Multiplication via Arithmetic Progressions. JSC 9(3), 251-280 (1990)

5. Dantsin, E., Wolpert, A.: Max SAT for formulas with constant clause density can be solved faster than in O(2n) time. In: Proc. of the 9th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing. LNCS, vol. 4121, pp. 266-276. Springer, Berlin (2006)

6. Dorn, F.: Dynamic Programming and Fast Matrix Multiplication. In: Proceedings of 14th Annual European Symposium on Algorithms. LNCS, vol.4168, pp. 280-291. Springer, Berlin (2006)

7. Garey, M., Johnson, D., Stockmeyer, L.: Some simplified NP-complete graph problems. Theor. Comput. Sci. 1, 237-267 (1976)

8. Gramm, J., Niedermeier, R.: Faster exact solutions for Max2Sat. In: Proceedings of CIAC. LNCS, vol. 1767, pp. 174-186. Springer, Berlin (2000)

9. Hirsch, E.A.: A 2m/4-time Algorithm for Max 2-SAT: Corrected Version. Electronic Colloquium on Computational Complexity Report TR99-036 (2000)

10. Itai, A., Rodeh, M.: Finding a Minimum Circuit in a Graph. SIAM J. Comput. 7(4), 413^23 (1978)

11. Kneis, J., Molle, D., Richter, S., Rossmanith, P.: Algorithms Based on the Treewidth of Sparse Graphs. In: Proc. Workshop on Graph Theoretic Concepts in Computer Science. LNCS, vol. 3787, pp. 385-396. Springer, Berlin (2005)

12. Kojevnikov, A., Kulikov, A.S.: A New Approach to Proving Up per Bounds for Max 2-SAT. In: Proc. of the Seventeenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, pp. 11 -17 (2006)

13. Mahajan, M., Raman, V.: Parameterizing above Guaranteed Values: MAXSAT and MAXCUT. J. Algorithms 31(2), 335-354 (1999)

14. Niedermeier, R., Rossmanith, P.: New upper bounds for maximum satisfiability. J. Algorithms 26,63-88 (2000)

15. Scott, A., Sorkin, G.: Faster Algorithms for MAX CUT and MAX CSP, with Polynomial Expected Time for Sparse Instances. In: Proceedings of RANDOM-APPROX 2003. LNCS, vol. 2764, pp. 382-395. Springer, Berlin (2003)

16. Williams, R.:On Computing k-CNF Formula Properties. In: Theory and Applications of Satisfiability Testing. LNCS, vol. 2919, pp. 330-340. Springer, Berlin (2004)

17. Williams, R.: A new algorithm for optimal 2-constraint satisfaction and its implications. Theor. Comput. Sci. 348(2-3), 357-365 (2005)

18. Woeginger, G.J.: Exact algorithms for NP-hard problems: A survey. In: Combinatorial Optimization-Eureka! You shrink! LNCS, vol. 2570, pp. 185-207. Springer, Berlin (2003)

19. Woeginger, G.J.: Space and time complexity of exact algorithms: some open problems. In: Proc. 1st Int. Workshop on Parameterized and Exact Computation (IWPEC 2004). LNCS, vol. 3162, pp. 281-290. Springer, Berlin (2004)

20. Yuval, G.: An Algorithm for Finding All Shortest Paths Using N2.81 Infinite-Precision Multiplications. Inf. Process. Lett. 4(6), 155-156(1976)