Максимальная выполнимость формул в 2-КНФ

Ключевые слова и синонимы

МАКС 2-ВЫП (MAX 2-SAT)

Постановка задачи

В задаче о максимальной выполнимости формул в 2-КНФ (которая далее будет обозначаться как MAX 2-SAT, или МАКС 2-ВЫП) на входе имеется булева формула в конъюнктивной нормальной форме, такая, что каждый дизъюнкт содержит не более двух литералов. Задача заключается в том, чтобы найти такое присваивание переменным формулы, при котором максимальное количество дизъюнктов выполнимы.

MAX 2-SAT представляет собой классическую задачу оптимизации. Гэйри, Джонсоном и Стокмайером [7] было показано, что ее версия с принятием решений (decision version) является NP-полной, что резко отличает ее от задачи 2-КНФ (2-ВЫП), которая решается за линейное время [2]. Чтобы получить представление о сложности проблемы, приведем краткое описание NP-полноты. Можно преобразовать любой экземпляр задачи 3-КНФ F в MAX-экземпляр 2-КНФ F', заменив каждый дизъюнкт F, такой, что:

[math]\displaystyle{ c_i = ( \ell_1 \lor \ell_2 \lor \ell_2) }[/math], где [math]\displaystyle{ \ell_1, \ell_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \ell_3 }[/math] – произвольные литералы, коллекцией дизъюнктов в 2-КНФ

[math]\displaystyle{ (\ell_1), (\ell_2), (\ell_3), (c_i), (\lnot \ell_1 \lor \lnot \ell_2), (\lnot \ell_2 \lor \lnot \ell_3), (\lnot \ell_1 \lor \lnot \ell_3), (\ell_1 \lor c_i), (\ell_2 \lor c_i), (\ell_3 \lor c_i) }[/math]

где [math]\displaystyle{ c_i }[/math] – новая переменная. Верны следующие утверждения:

• Если присваивание делает [math]\displaystyle{ c_i }[/math] выполнимой, то из десяти дизъюнктов коллекции 2-КНФ могут быть выполнимыми ровно семь.

• Если присваивание делает [math]\displaystyle{ c_i }[/math] невыполнимой, то ровно шесть из десяти дизъюнктов коллекции 2-КНФ могут быть выполнимыми.

Если F выполнима, то существует присваивание, делающее выполнимыми 7/10 дизъюнктов в F', в противном случае никакое присваивание не делает выполнимыми более чем 7/10 дизъюнктов в F'. Поскольку задача 3-ВЫП сводится к МАКС 2-ВЫП, из этого следует, что МАКС 2-ВЫП (как задача с принятием решений) NP-полна.

Нотация

КНФ-формула представляется в виде набора дизъюнктов.

Символы [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] обозначают множества вещественных и целых чисел, соответственно. Буква [math]\displaystyle{ \omega }[/math] обозначает наименьшее действительное число, такое, что для всех [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] умножение матрицы размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] над кольцом может быть выполнено за [math]\displaystyle{ О(n^{\omega + \epsilon}) }[/math] кольцевых операций. В настоящее время известно, что [math]\displaystyle{ \omega \lt 2,376 }[/math] [4]. Кольцевое матричное произведение двух матриц A и B обозначается как [math]\displaystyle{ A \times B }[/math].

Пусть A и B – матрицы с элементами из R [ f1g. Произведением расстояний между A и B (сокращенно A ®d B) называется матрица C, определяемая по формуле C[i, j] = min fA[i, k] + B[k, j]g: k=l, ..., n

Несколько слов о m и n: применительно к графам они обозначают количество ребер и вершин графа, соответственно. В то же время в КНФ-формулах m и n обозначают количество дизъюнктов и переменных, соответственно.

Основные результаты

Основным результатом данной статьи является процедура, решающая задачу MAX 2-SAT за время O(m ■ 2!n/3). Метод может быть обобщен для подсчета количества решений любой задачи оптимизации с ограничениями, в которой на одно ограничение приходится не более двух переменных (см. [17]), хотя изложение в данной статье будет несколько отличаться от приведенного в указанном источнике и будет значительно упрощено. Известно несколько других точных алгоритмов для MAX 2-SAT, работающих более эффективно в специальных случаях – например, на разреженных экземплярах задачи [3, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16]. Ниже описана единственная известная на момент написания статьи процедура, выполняемая за время O(poly(m) ■ 2 ) (при некотором фиксированном S < 1) во всех возможных случаях.

Ключевая идея

Алгоритм производит редукцию от MAX 2-SAT к задаче MAX TRIANGLE, в которой на входе имеется граф с целочисленными весами вершин и ребер, а целью является вывод 3-цикла с максимальным весом. На первый взгляд существование такой редукции кажется странным, поскольку MAX TRIANGLE можно тривиально решить за время O(n3), перебрав все возможные 3-циклы. Суть в том, что редукция экспоненциально увеличивает размер задачи: от экземпляра MAX 2-SAT с m пунктами и n переменными к экземпляра MAX TRIANGLE с O(22n/3) ребрами, O(2n/3) вершинами и весами в диапазоне {-m... ; mg.

Заметим, что если бы задаче MAX TRIANGLE требовалось @(и3) времени для решения, то полученный алгоритм для MAX 2-SAT выполнялся бы за 0(2") времени, что сделало бы приведенную выше редукцию бессмысленной. Однако оказалось, что перебор O(n3) для MAX TRIANGLE – не лучшее, что можно сделать: существует алгоритм для решения этой задачи на основе быстрого умножения матриц, работающий за время O( Wn!) на графах с весами в диапазоне {- W.: ; Wg.

Основной алгоритм

Сначала описывается редукция от MAX 2-SAT к MAX TRIANGLE, согласно которой каждый треугольник веса K в полученном графе находится в взаимно-однозначном соответствии с присваиванием, при котором становятся выполнимыми K дизъюнктов экземпляра MAX 2-SAT. Пусть a, b – вещественные числа, и пусть Z[a; b] := [a; b] \ Z.

Лемма 1. Если задача MAX TRIANGLE на графах с n вершинами и весами из Z,[-W, W] разрешима за время O(f(W) ■ g(n)) для полиномиальных f и g, то MAX 2-SAT разрешима за время O(f(m) - g(2n/3)), где m – количество дизъюнктов, а n – количество переменных.

Доказательство. Пусть C – заданная формула в 2-КНФ. Предположим без потери общности, что n кратно 3. Пусть F – экземпляр задачи MAX 2-SAT. Произвольным образом разобьем n переменных экземпляра F на три множества P1, P2, P3, каждое из которых содержит n/3 переменных. Для каждого Pi составим список Li из всех 2n/3 присваиваний переменным из Pi.

Определим граф G = (V, E), где V = L1 [ L2 [ L3 и E = f(u;v)ju 2 Pi ; v 2 Pj; i ф jg. Таким образом, G – это полный трехдольный граф с 2n/3 вершинами в каждой доле, и каждая вершина в G соответствует присваиванию n/3 переменным в C. Веса в вершинах и ребрах G распределяются следующим образом. Для вершины v определим w(v) как количество дизъюнктов, выполнимых в результате частичного присваивания, обозначенное как v. Для каждого ребра {u,v} определим w(fu; vg) = -Wuv, где Wuv – количество дизъюнктов, выполнимых одновременно u и v.

Определим вес треугольника в G как полную сумму всех весов и вершин в треугольнике.

Утверждение 1. Существует взаимно однозначное соответствие между треугольниками веса K в G и присваиваниями переменных, при которых ровно K дизъюнктов в F становятся выполнимыми.

Доказательство. Пусть a – присваивание переменной. Тогда существуют единственные узлы v1 2 L1; v2 2 L2 и v3 2 L3 такие, что a в точности является конкатенацией v1, v2, v3 как присваиваний. Более того, любая тройка вершин v1 2 L1, v2 2 L2 и v3 2 L3 соответствует присваиванию. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между треугольниками в G и присваиваниями в F.

Количество дизъюнктов, которые становятся выполнимыми при этом присваивании, в точности равно весу соответствующего треугольника. Чтобы убедиться в этом, обозначим за Ta = fv1; v2; v3g – треугольник в G, соответствующий присваиванию a. Тогда Ta) = w(v1) + w(v2) +w(v3) +w(fv1; v2g) + w(fv2; v3g) + w(fv1; v3g)

где последнее равенство следует из принципа включения-исключения. □

Заметим, что количество вершин в G равно 3 - 2n/3, а абсолютное значение веса любой вершины и любого ребра равно m. Поэтому, запустив на G алгоритм MAX TRIANGLE, решение MAX 2-SAT можно получить за время O(f(m) ■ g(3 ■ 2n/3)), что соответствует O(f(m) ■ g(2n/3)) в силу полиномиальности g. Этим завершается доказательство леммы 1. □

Далее описывается процедура нахождения максимального треугольника быстрее, чем с помощью простого перебора, с использованием быстрого умножения матриц. Алон, Галил и Маргалит [ ] (вслед за Ювалем [20]) показали, что произведение расстояний для матриц с элементами из Z[- W; W] может быть вычислено с помощью быстрого умножения матриц в качестве подпрограммы.

Теорема 2 (Алон, Галил, Маргалит [ ]). Пусть A и B – матрицы размера n x n с элементами из Z,[-W, W] [ f1g. Тогда произведение A ®d B может быть вычислено за время O(Wn! log n).

Доказательство (набросок). Заменим 1 запись в A и B на 2W + 1 следующим образом. Определим матрицы A0 и B0, где и x – переменная. Положим C = A0 x B0. Тогда

На следующем шаге выберем такое число x, чтобы из суммы произвольных степеней x было легко определить наибольшую степень x, встречающуюся в сумме; эта наибольшая степень сразу же дает минимум A[i; k] + B[k; j]. Каждый C[i,j] – это полином от x с коэффициентами из Z[0; n]. Предположим, что каждый C[i,j] оценивается при x = (n + 1). Тогда каждый элемент C[i,j] можно рассматривать как (n + 1)-арное число, а положение старшей значащей цифры этого числа дает минимум A[i; k] + B[k;j].

Суммируя все вышесказанное, AgjB можно вычислить, построив A0[i;j] = (n + i)3W-A[,-,i] ; B0[i;j] = {n+l)w-BU,j]

за время O(Wlog n) на каждый элемент, вычисление C = A0 x B0 за время O(n! -(Wlogn)) времени (так как размеры элементов равны O(Wlog n)), а затем извлекая минимум из каждого элемента C за время O(n2 ■ Wlog n). Заметим, что если минимум для элемента C[i,j] равен хотя бы2W+ 1, то C[i;j] = 1. □

Используя быстрый алгоритм произведения расстояний, можно решить задачу MAX TRIANGLE быстрее, чем простым перебором. Нижеследующее изложение основывается на алгоритм Итаи и Роде [ ] для выявления наличия треугольника в невзвешенном графе менее чем за n3 шагов. Результат может быть обобщен на подсчет количества k-клик для произвольного k > 3. (Для простоты изложения результат подсчета опущен. Что касается работы с k-кликами, то, к сожалению, не существуетасимптотического преимущества во времени выполнения от использования алгоритма на k-кликах вместо алгоритма на треугольниках – по крайней мере, если говорить о лучших на сегодня алгоритмах для решения этих задач).

Теорема 3. MAX TRIANGLE решается за O(W n! log n) для графов с весами из Z[-W; W].

Доказательство. Сначала демонстрируется, что весовая функция на вершинах и ребрах может быть преобразована в эквивалентную весовую функцию с весами только на ребрах. Пусть w – весовая функция над G. Переопределим веса следующим образом:

Обратите внимание, что вес треугольника при такой редукции остается неизменным.

Следующим шагом будет использование быстрого произведения расстояний для поиска треугольника с максимальным весом в реберно-взвешенном графе с n вершинами. Рассмотрим множество вершин G как множество f1,... ; n g. Определим A как матрицу размера n x n, такую, что A[i;j] = -w({i,j}), если существует ребро fi; jg, и A[i; j] = 1 в противном случае. Утверждение заключается в том, что треугольник с весом не менее K включает вершину i тогда и только тогда, когда (A ®d A ®d A)[i; i] < -K. Это объясняется тем, что (A ®д A Cg)^ A)[i; i] < -K тогда и только тогда, когда существуют отличные j и k такие, что fi; jg; fj; kg; fk; ig – ребра и A[i;j] + A[j;k] + A[k;i] < -K, т.е. w(fi;jg) + w(fj;kg) + w({k,i})>K.

Поэтому, найдя i такой, что (A®^ A®^ A)[i; i] минимизировано, мы получим вершину i, содержащуюся в максимальном треугольнике. Для получения фактического треугольника проверьте все m ребер {j, k} на предмет того, является ли {i,j, k} треугольником. □

Теорема 4. Задачу MAX 2-SAT можно решить за время O(m ■ 1:732n).

Доказательство. Пусть дан набор дизъюнктов C. Применим редукцию из леммы 1, чтобы получить граф G с O(2n/3) вершинами и весами из Ъ\-т, m]. Применим алгоритм из Теоремы 3 для вывода максимального треугольника в G за время O(m ■ 2!n/3 log(2n/3)) = O(m - 1:732n), используя O(n2.376) матричное умножение Копперсмита-Винограда [4]. □

Применение

Модифицировав конструкцию графа, можно решать другие задачи за время O(1.732n), такие как MAX CUT (максимальный разрез), MINIMUM BISECTION (минимальная бисекция) и SPARSEST CUT (самое неплотное сечение). В целом, любая задача оптимизации с ограничениями, в которой каждое ограничение имеет не более двух переменных, может быть решена быстрее с помощью описанного выше подхода. Более подробную информацию можно найти в [ ] и в недавнем обзоре Вёгингера [19]. Схожая с вышеприведенным алгоритмом техника была также использована Дорном [6] с целью ускорения динамического программирования для некоторых задач на планарных графах (и вообще на графах с ограниченной путевой шириной).

Открытые вопросы

• Необходимо улучшить использование памяти описанным выше алгоритмом. В настоящее время он требует @(22"/3). Очень интересен пока нерешенный вопрос: существует ли алгоритм для MAX 2-SAT со временем O(1,99n), использующий только полиномиальный объем памяти. На этот вопрос можно было бы ответить положительно, если бы удалось найти алгоритм решения задачи о k-кликах (k-CLIQUE) с полилогарифмическими затратами памяти и временем nk~ для некоторых S > 0 и k > 3.

• Хотелось бы найти алгоритм для MAX 2-SAT, работающий быстрее 2n и не требующий быстрого умножения матриц. Алгоритмы быстрого умножения матриц имеют печальную репутацию непрактичных.

• Следует обобщить вышеприведенный алгоритм для задачи MAX k-SAT, где k – любое целое положительное число. В текущей формулировке требуется эффективный алгоритм для нахождения малой гиперклики в гиперграфе. Однако для этой задачи неизвестны какие-либо результаты общего вида. Есть гипотеза, что для всех k > 2 MAX k-SAT решается за время 6(2"'1~*+T-)), исходя из предположения, что умножение матриц выполняется за время n2+o(1) [17].

См. также

• Алгоритм поиска кратчайших путей при помощи матричного произведения
• Максимальный разрез
• Минимальная бисекция
• Самое неплотное сечение

Литература

1. Alon, N., Galil, Z., Margalit, O.: On the exponent of the all-pairs shortest path problem. J. Comput. Syst. Sci. 54,255-262 (1997)

2. Aspvall, B., Plass, M.F., Tarjan R.E.: A linear-time algorithm for testing the truth of certain quantified boolean formulas. Inf. Proc. Lett. 8(3),121-123(1979)

3. Bansal, N., Raman, V.: Upper bounds for Max Sat: Further Improved. In: Proceedings of ISAAC. LNCS, vol. 1741, pp. 247-258. Springer, Berlin (1999)

4. Coppersmith, D., Winograd S.: Matrix Multiplication via Arithmetic Progressions. JSC 9(3), 251-280 (1990)

5. Dantsin, E., Wolpert, A.: Max SAT for formulas with constant clause density can be solved faster than in O(2n) time. In: Proc. of the 9th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing. LNCS, vol. 4121, pp. 266-276. Springer, Berlin (2006)

6. Dorn, F.: Dynamic Programming and Fast Matrix Multiplication. In: Proceedings of 14th Annual European Symposium on Algorithms. LNCS, vol.4168, pp. 280-291. Springer, Berlin (2006)

7. Garey, M., Johnson, D., Stockmeyer, L.: Some simplified NP-complete graph problems. Theor. Comput. Sci. 1, 237-267 (1976)

8. Gramm, J., Niedermeier, R.: Faster exact solutions for Max2Sat. In: Proceedings of CIAC. LNCS, vol. 1767, pp. 174-186. Springer, Berlin (2000)

9. Hirsch, E.A.: A 2m/4-time Algorithm for Max 2-SAT: Corrected Version. Electronic Colloquium on Computational Complexity Report TR99-036 (2000)

10. Itai, A., Rodeh, M.: Finding a Minimum Circuit in a Graph. SIAM J. Comput. 7(4), 413^23 (1978)

11. Kneis, J., Molle, D., Richter, S., Rossmanith, P.: Algorithms Based on the Treewidth of Sparse Graphs. In: Proc. Workshop on Graph Theoretic Concepts in Computer Science. LNCS, vol. 3787, pp. 385-396. Springer, Berlin (2005)

12. Kojevnikov, A., Kulikov, A.S.: A New Approach to Proving Up per Bounds for Max 2-SAT. In: Proc. of the Seventeenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, pp. 11 -17 (2006)

13. Mahajan, M., Raman, V.: Parameterizing above Guaranteed Values: MAXSAT and MAXCUT. J. Algorithms 31(2), 335-354 (1999)

14. Niedermeier, R., Rossmanith, P.: New upper bounds for maximum satisfiability. J. Algorithms 26,63-88 (2000)

15. Scott, A., Sorkin, G.: Faster Algorithms for MAX CUT and MAX CSP, with Polynomial Expected Time for Sparse Instances. In: Proceedings of RANDOM-APPROX 2003. LNCS, vol. 2764, pp. 382-395. Springer, Berlin (2003)

16. Williams, R.:On Computing k-CNF Formula Properties. In: Theory and Applications of Satisfiability Testing. LNCS, vol. 2919, pp. 330-340. Springer, Berlin (2004)

17. Williams, R.: A new algorithm for optimal 2-constraint satisfaction and its implications. Theor. Comput. Sci. 348(2-3), 357-365 (2005)

18. Woeginger, G.J.: Exact algorithms for NP-hard problems: A survey. In: Combinatorial Optimization-Eureka! You shrink! LNCS, vol. 2570, pp. 185-207. Springer, Berlin (2003)

19. Woeginger, G.J.: Space and time complexity of exact algorithms: some open problems. In: Proc. 1st Int. Workshop on Parameterized and Exact Computation (IWPEC 2004). LNCS, vol. 3162, pp. 281-290. Springer, Berlin (2004)

20. Yuval, G.: An Algorithm for Finding All Shortest Paths Using N2.81 Infinite-Precision Multiplications. Inf. Process. Lett. 4(6), 155-156(1976)