Последовательное приближенное сравнение строк
Ключевые слова и синонимы
Сравнение строк, допускающее ошибки или различия; неточное сравнение строк; полуглобальное или полулокальное сходство последовательностей
Постановка задачи
Пусть даны текстовая строка
Решения этой задачи заметно различаются в зависимости от используемой метрики расстояния d. Далее будет использоваться очень популярная метрика, называемая расстоянием Левенштейна или расстоянием редактирования и определяемая как минимальное количество операций вставки символа, удаления символа и замены одного символа на другой, необходимых для преобразования одной строки в другую. Также будет уделено внимание другим распространенным вариантам, таким как indel-расстояние, в котором допускаются только вставки и удаления и которое является двойственным к нахождению самой длинной общей подпоследовательности lcs (d(A, B) = |A| + |B| - 2 • lcs(A, B)), а также расстояние Хэмминга, в котором рассматриваются только замены.
Популярным обобщением всех вышеперечисленных вариантов является взвешенное расстояние редактирования, при котором операциям присваиваются положительные вещественные веса, а расстояние является минимальной суммой весов последовательности операций, преобразующих одну строку в другую. Вес операции удаления символа c обозначим за
Далее рассматриваются сложность в наихудшем и в среднем случаях. Во втором варианте предполагается, что шаблон и текст генерируются случайным образом посредством равномерного и независимого выбора из
Основные результаты
Первое и наиболее универсальное решение этой задачи [13] строится на процессе вычисления взвешенного расстояния редактирования. Пусть
предполагая, что
Теорема 1 (Селлерс, 1980 [13]). Существует решение с временем выполнения O(mn) в наихудшем случае для задачи ASM с использованием взвешенного расстояния редактирования.
Алгоритм требует O(m) памяти, если заметить, что матрицу C можно вычислять по столбцам и что для вычисления столбца j требуется только столбец j – 1. Как было показано, из этого тотчас же следует, что поиск среди расстояний редактирования с единичной стоимостью также может быть выполнен за время O(mn). В этих случаях очень легко вычислить только часть матрицы C, чтобы получить алгоритмы со средним временем O(kn) [14].
Для вычисления взвешенного расстояния редактирования существуют алгоритмы с меньшей сложностью в наихудшем случае. Применяя разбор Лемпеля-Зива к P и T, можно выявить области матрицы C, соответствующие подстрокам P и T, которые могут быть вычислены из предыдущих областей, соответствующих аналогичным подстрокам P и T [5].
Теорема 2 (Крочмор и др., 2003 [5]). Существует решение с временем выполнения
Этот весьма общий результат имеет место также для вычисления взвешенного расстояния редактирования и локального сходства (см. раздел «Применение»). Для случая расстояния редактирования и использования RAM-модели с единичной стоимостью можно получить лучший результат. С одной стороны, можно применить «метод четырех русских», который предварительно вычисляет все возможные блоки (подматрицы C) размера
Теорема 3 (Масек и Паттерсон, 1980 [9]; Майерс, 1999 [10]). Существуют решения с временем выполнения
Оба показателя сложности имеют место также для indel-расстояния, но не для расстояния Хэмминга.
Для расстояний редактирования с единичной стоимостью сложность может зависеть от k, а не от m, поскольку для нетривиальных задач k < m и обычно k составляет небольшую часть m (или даже k = o(m)). Классическая техника [8] вычисляет матрицу С путем обработки за константное время диагоналей
Теорема 4 (Ландау и Вишкин, 1989 [8]). Существует решение с временем выполнения O(kn) в наихудшем случае для задачи ASM с использованием расстояния редактирования с единичной стоимостью.
Также существуют другие решения, дающие лучший результат для небольших k и требующие
Теорема 5 (Амир и др,. 2004 [1]). Существует решение с временем выполнения
Последний результат для расстояния редактирования [4] демонстрирует время O(n) в случае, если k достаточно мало
Теорема 6 (Укконен, 1985 [14]). Существует решение с временем выполнения
Аналогичный результат имеет место для расстояния Хэмминга и indel-расстояния, для которых экспоненциальный член слегка сокращается в силу свойств этих метрик.
Сложность задачи ASM в наихудшем случае, разумеется, составляет
Теорема 7 (Чанг и Марр, 1994 [3]). Существует решение с временем выполнения
Нетрудно доказать нижнюю границу как расширение границы Яо для точного сравнения строк [15]. Нижняя граница была достигнута в той же статье [3] для
Теорема 8 (Фредриксон и Наварро, 2004 [6]). Существует оптимальное в среднем решение для задачи ASM с использованием расстояния редактирования для любого
Данный результат дословно применим и к indel-расстоянию. Для расстояния Хэмминга достигается та же сложность, однако граница на k/m улучшается до
Применение
Эта задача широко применяется в вычислительной биологии (для сравнения последовательностей ДНК и белков, восстановления после ошибок экспериментов, с целью выявления точек мутаций или прогнозирования сходства в структуре или функции), для текстового информационного поиска (для восстановления после ошибок транскрипции, набора или автоматического распознавания), обработки сигналов (для восстановления после ошибок при передаче и искажений) и в некоторых других областях. Подробнее об этом см. обсуждение в работе [11].
Существует немало расширений задачи ASM, особенно в вычислительной биологии. К примеру, можно заменить полные подстроки другими (обобщенное расстояние редактирования), поменять символы в строке (сравнение строк с заменами или транспозициями), выполнить обращение подстрок (расстояние обращений), присвоить переменную стоимость операциям вставки и удаления в случае их группировки (сходство со штрафами за пропуски) или искать любую пару подстрок обеих строк, обладающую достаточным сходством (локальное сходство). Примеры можно найти в книге Гусфилда [7], где рассматривается множество родственных задач.
Открытые вопросы
Сложность задачи в наихудшем случае не вполне понятна. Для расстояния редактирования с единичной стоимостью она составляет
Экспериментальные результаты
Исчерпывающий обзор материалов по данному вопросу [11] включает множество экспериментов. На сегодняшний день самыми быстрыми алгоритмами для расстояния редактирования на практике являются алгоритмы фильтрации [6, 12] в сочетании с битово-параллельными алгоритмами для проверки областей-кандидатов [2, 10]. Эти алгоритмы фильтрации хорошо работают для достаточно малых значений k/m, в противном случае битово-параллельные алгоритмы следует использовать автономно. Алгоритмы фильтрации легко допускают расширение с целью поддержки поиска по нескольким шаблонам одновременно.
Ссылка на код
Эффективное решение задачи ASM обеспечивают такие хорошо известные пакеты, как agrep (http://webglimpse.net/download.html, поддиректория верхнего уровня agrep/) и nrgrep (http://www.dcc.uchile.cl/~gnavarro/software).
См. также
- Приближенное сравнение регулярных выражений – более сложный случай, где P может быть регулярным выражением]]
- Индексированное приближенное сравнение строк относится к случаю, при котором возможна предварительная обработка текста]]
- Локальное выравнивание (с вогнутыми штрафами за пропуски) относится к более сложной схеме с весами]]
- Последовательное точное сравнение строк – упрощенная версия, в которой ошибки не допускаются
Литература
1. Amir, A., Lewenstein, M., Porat, E.: Faster algorithms for string matching with k mismatches. J. Algorithms 50(2), 257-275 (2004)
2. Baeza-Yates, R., Navarro, G.: Faster approximate string matching. Algorithmica 23(2), 127-158 (1999)
3. Chang, W., Marr, T.: Approximate string matching and local similarity. In: Proc. 5th Annual Symposium on Combinatorial Pattern Matching (CPM'94). LNCS, vol. 807, pp. 259-273. Springer, Berlin, Germany (1994)
4. Cole, R., Hariharan, R.: Approximate string matching: A simpler faster algorithm. SIAM J. Comput. 31 (6), 1761 -1782 (2002)
5. Crochemore, M., Landau, G., Ziv-Ukelson, M.: A subquadratic sequence alignment algorithm for unrestricted scoring matrices. SIAM J. Comput. 32(6), 1654-1673 (2003)
6. Fredriksson, K., Navarro, G.: Average-optimal single and multiple approximate string matching. ACM J. Exp. Algorithms 9(1.4)(2004)
7. Gusfield, D.: Algorithms on strings, trees and sequences. Cambridge University Press, Cambridge (1997)
8. Landau, G., Vishkin, U.: Fast parallel and serial approximate string matching. J. Algorithms 10,157-169 (1989)
9. Masek, W., Paterson, M.: A faster algorithm for computing string edit distances. J. Comput. Syst. Sci.20,18-31 (1980)
10. Myers, G.: A fast bit-vector algorithm for approximate string matching based on dynamic progamming. J. ACM 46(3), 395-415(1999)
11. Navarro, G.: A guided tour to approximate string matching. ACM Comput. Surv. 33(1), 31-88(2001)
12. Navarro, G., Baeza-Yates, R.: Very fast and simple approximate string matching. Inf. Proc. Lett. 72,65-70 (1999)
13. Sellers, P.: The theory and computation of evolutionary distances: pattern recognition. J. Algorithms 1, 359-373 (1980)
14. Ukkonen, E.: Finding approximate patterns in strings. J. Algorithms 6,132-137 (1985)
15. Yao, A.: The complexity of pattern matching for a random string. SIAM J. Comput. 8,368-387 (1979)