Задача присваивания

Ключевые слова и синонимы

Паросочетание на взвешенных двудольных графах

Постановка задачи

Пусть дан полный двудольный граф [math]\displaystyle{ G = (X, Y, X \times Y) \; }[/math] с присвоенным каждому ребру (x, y) весом w(x, y). Паросочетание M представляет собой подмножество ребер, такое, что никакие два ребра в M не имеют общей вершины. Паросочетание является совершенным, если в него входят все вершины. Предположим, что |X| = |Y| = n. Задача поиска паросочетания на взвешенных двудольных графах заключается в нахождении паросочетания с максимальным общим весом [math]\displaystyle{ w(M) = \sum_{e \in M} w(e) \; }[/math]. Поскольку граф G является полным и двудольным, у него имеется совершенное паросочетание. Алгоритм для решения данной задачи предложили Кун [4] и Манкрес [6]. Будем предполагать, что всех веса ребер неотрицательны.

Основные результаты

Определим допустимую разметку вершин [math]\displaystyle{ \ell \; }[/math] как отображение множества вершин G на множество вещественных чисел, где [math]\displaystyle{ \ell(x) + \ell(y) \ge w(x, y) \; }[/math].

Назовем [math]\displaystyle{ \ell(x) \; }[/math] меткой вершины x. Допустимую разметку вершин легко вычислить следующим образом:

[math]\displaystyle{ \forall y \in Y \; \; \; \ell(y) = 0 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \forall x \in X \; \; \; \ell(x) = max_{y \in Y} \; w(x, y). }[/math]

Определим подграф равенства, [math]\displaystyle{ G_{ \ell}\; }[/math], как остовный подграф G, содержащий все вершины G и только те ребра (x, y), веса которых удовлетворяют условию [math]\displaystyle{ w(x, y) = \ell(x) + \ell(y) \; }[/math].

Связь между подграфами равенства и паросочетаниями с максимальным весом задается следующей теоремой.

Теорема 1. Если подграф равенства, [math]\displaystyle{ G_{ \ell}\; }[/math], содержит совершенное паросочетание M*, то M* является в G паросочетанием с максимальным весом.

Заметим, что сумма меток является верхней границей веса паросочетания с максимальным весом. Алгоритм последовательно находит паросочетание и допустимую разметку, такие, что вес паросочетания оказывается равен сумме всех меток.

Высокоуровневое описание

Вышеприведенная теорема служит основой алгоритма нахождения паросочетания с максимальным весом в полном двудольном графе. Начав с допустимой разметки, вычислим подграф равенства и затем найдем максимальное паросочетание в этом подграфе (на этом этапе веса ребер не учитываются). Если найденное паросочетание является совершенным, процесс на этом завершается. В противном случае к подграфу равенства добавляются ребра посредством пересмотра меток вершин. После добавления ребер к подграфу равенства либо увеличивается размер паросочетания (был найден дополняющий путь), либо продолжает расти венгерское дерево. В первом случае этот этап процесса завершается и начинается новый (поскольку размер паросочетания вырос). Во втором случае венгерское дерево растет за счет добавления к нему новых вершин, что, очевидно, не может произойти более n раз.

(Структура венгерского дерева включает исследованные ребра при поиске базисного возможного решения одновременно из всех свободных вершин в S. Когда в T найдена вершина, сопоставленная какой-либо вершине из S, нужно исследовать только соответствующее ребро; однако в S исследуются все ребра, инцидентные этой вершине).

Пусть S – дерево свободных вершин в X. Вырастим венгерские деревья из каждой вершины S. Пусть T – вершины из Y, встретившиеся в поиске дополняющего пути из вершин в S. Добавим все вершины из X, встретившиеся в поиске, в S.

Стоит отметить следующее свойство данного алгоритма:

[math]\displaystyle{ \bar{S} = X \backslash S \; }[/math].

[math]\displaystyle{ \bar{T} = Y \backslash T \; }[/math].

[math]\displaystyle{ |S| \gt |T| \; }[/math].

Между S и [math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math] не имеется ребер, поскольку в противном случае не было бы возможности полностью вырастить венгерские деревья. Поскольку венгерские деревья выращиваются в [math]\displaystyle{ G_{ \ell}\; }[/math], альтернативные вершины в поиске помещаются в S и T. Для обновления меток следует взять метки из S и начать равномерно уменьшать их (скажем, на значение [math]\displaystyle{ \lambda \; }[/math]), в то же время увеличивая метки в T на то же значение [math]\displaystyle{ \lambda \; }[/math]. Этот подход гарантирует, что ребра, ведущие из S в T, не исчезнут из подграфа равенства (рис. 1).

Поскольку метки в S уменьшаются, ребра (в графе G), ведущие из S в [math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math], потенциально могут попасть в подграф равенства [math]\displaystyle{ G_{ \ell}\; }[/math]. По мере увеличения значения [math]\displaystyle{ \lambda \; }[/math] в какой-то момент ребро окажется в подграфе равенства. В этот момент процесс следует остановить и обновить венгерское дерево. Если вершина из [math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math], добавленная к T, сопоставлена с вершиной из [math]\displaystyle{ \bar{S} }[/math], обе эти вершины перемещаются в S и T, что увеличивает размер венгерского дерева. Если вершина из [math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math] свободна, то дополняющий путь найден и данный этап завершен. Этап состоит из таких шагов, выполненных между приращениями размера паросочетания. Поскольку в G всего n вершин, у алгоритма будет не более n этапов, поскольку на каждом этапе размер паросочетания увеличивается на 1. В рамках каждого этапа размер венгерского дерева увеличивается не более n раз. Очевидно, что за время [math]\displaystyle{ O(n^2) \; }[/math] можно обнаружить, какое ребро, ведущее из S в [math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math], первым войдет в подграф равенства (для этого нужно просто просмотреть все ребра). Общее время выполнения в таком случае составит [math]\displaystyle{ O(n^4) \; }[/math]. Теперь покажем, как реализовать это подход за время [math]\displaystyle{ O(n^3) \; }[/math].

Рис. 1. Множества S и T, поддерживаемые алгоритмом

Более эффективная реализация

Определим провис ребра следующим образом:

[math]\displaystyle{ slack(x, y) = \ell(x) + \ell(y) - w(x, y) }[/math].

Тогда

[math]\displaystyle{ \lambda = min_{x \in S, y \in \bar{T}} \; slack(x, y) }[/math].

Интуитивно кажется, что вычисление [math]\displaystyle{ \lambda \; }[/math] требует [math]\displaystyle{ O(n^2) \; }[/math] времени. Для каждой вершины [math]\displaystyle{ y \in \bar{T} \; }[/math] отметим ребро с минимальным провисом, т.е.

[math]\displaystyle{ slack[y] = min_{x \in S} \; slack(x, y) }[/math].

Вычисление slack[y] для всех [math]\displaystyle{ y \in \bar{T} \; }[/math] требует [math]\displaystyle{ O(n^2) \; }[/math] времени в начале этапа. По мере продвижения по данному этапу все значения провисов легко обновляются за время O(n), поскольку все они изменяются на одну и ту же величину (метки вершин из S уменьшаются равномерным образом). При перемещении вершины u из [math]\displaystyle{ \bar{S} }[/math] в S необходимо перевычислить провисы вершин в [math]\displaystyle{ \bar{T} }[/math], что требует O(n) времени. Однако перемещать вершину из [math]\displaystyle{ \bar{S} }[/math] в S можно не более n раз.

Таким образом, каждый этап может быть реализован за время [math]\displaystyle{ O(n^2) \; }[/math]. Поскольку имеется n этапов, общее время выполнения составиет [math]\displaystyle{ O(n^3) \; }[/math]. Для разреженных графов есть способ реализации алгоритма с временем выполнения O(n(m + n log n)) с использованием потоков минимальной стоимости [1], где m – количество ребер.

Применение

Паросочетание в двудольных графах имеет множество областей применения – например, при планировании заданий единичной длины с целочисленными значениями времени запуска и предельного срока окончания, даже в присутствии штрафных санкций, зависящих от времени.

Открытые вопросы

Необходимо разработать алгоритм с линейным или близким к линейному временем выполнения.

Литература

Некоторые книги, посвященные комбинаторной оптимизации, включают описания алгоритмов поиска паросочетания во взвешенных двудольных графах (см. [2, 5]). Также информацию об этом можно найти в статье Габова [3].

1. Ahuja, R., Magnanti, T., Orlin, J.: Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. Prentice Hall, Englewood Cliffs (1993)

2. Cook, W., Cunningham, W., Pulleyblank,W., Schrijver,A.: Combinatorial Optimization. Wiley, New York (1998)

3. Gabow, H.: Data structures for weighted matching and nearest common ancestors with linking. In: Symp. on Discrete Algorithms, 1990, pp. 434-443

4. Kuhn, H.: The Hungarian method for the assignment problem. Naval Res. Logist. Quart. 2,83-97 (1955)

5. Lawler, E.: Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Holt, Rinehart and Winston (1976)

6. Munkres, J.: Algorithms for the assignment and transportation problems. J. Soc. Ind. Appl. Math. 5, 32-38 (1957)