Задача присваивания

Ключевые слова и синонимы

Паросочетание на взвешенных двудольных графах

Постановка задачи

Пусть дан полный двудольный граф $G=(X,Y,X\times Y)$ с присвоенным каждому ребру (x, y) весом w(x, y). Паросочетание M представляет собой подмножество ребер, такое, что никакие два ребра в M не имеют общей вершины. Паросочетание является совершенным, если в него входят все вершины. Предположим, что |X| = |Y| = n. Задача поиска паросочетания на взвешенных двудольных графах заключается в нахождении паросочетания с максимальным общим весом, где $w(M)=\sum _{e\in M}w(e)$. Поскольку граф G является полным и двудольным, у него имеется совершенное паросочетание. Алгоритм для решения данной задачи предложили Кун [4] и Манкрес [6]. Будем предполагать, что всех веса ребер неотрицательны.

Основные результаты

Определим допустимую разметку вершин $\ell$ как отображение множества вершин G на множество вещественных чисел, где $\ell (x)+\ell (y)\ge w(x,y)$.

Назовем $\ell (x)$ меткой вершины x. Допустимую разметку вершин легко вычислить следующим образом:

$\mathrm{\forall }y\in Y\ell (y)=0$

и

$\mathrm{\forall }x\in X\ell (x)=ma{x}_{y\in Y}w(x,y).$

Определим подграф равенства, $G_{\ell }$, как остовный подграф G, содержащий все вершины G и только те ребра (x, y), веса которых удовлетворяют условию $w(x,y)=\ell (x)+\ell (y)$.

Связь между подграфами равенства и паросочетаниями с максимальным весом задается следующей теоремой.

Теорема 1. Если подграф равенства, $G_{\ell }$, содержит совершенное паросочетание M*, то M* является в G паросочетанием с максимальным весом.

Заметим, что сумма меток является верхней границей веса паросочетания с максимальным весом. Алгоритм последовательно находит паросочетание и допустимую разметку, такие, что вес паросочетания оказывается равен сумме всех меток.

Высокоуровневое описание

Вышеприведенная теорема служит основой алгоритма нахождения паросочетания с максимальным весом в полном двудольном графе. Начав с допустимой разметки, вычислим подграф равенства и затем найдем максимальное паросочетание в этом подграфе (на этом этапе веса ребер не учитываются). Если найденное паросочетание является совершенным, процесс на этом завершается. В противном случае к подграфу равенства добавляются ребра посредством пересмотра меток вершин. После добавления ребер к подграфу равенства либо увеличивается размер паросочетания (был найден дополняющий путь), либо продолжает расти венгерское дерево. В первом случае этот этап процесса завершается и начинается новый (поскольку размер паросочетания вырос). Во втором случае венгерское дерево растет за счет добавления к нему новых вершин, что, очевидно, не может произойти более n раз.

(Структура венгерского дерева включает исследованные ребра при поиске базисного возможного решения одновременно из всех свободных вершин в S. Когда в T найдена вершина, сопоставленная какой-либо вершине из S, нужно исследовать только соответствующее ребро; однако в S исследуются все ребра, инцидентные этой вершине).

Пусть S – дерево свободных вершин в X. Вырастим венгерские деревья из каждой вершины S. Пусть T – вершины из Y, встретившиеся в поиске дополняющего пути из вершин в S. Добавим все вершины из X, встретившиеся в поиске, в S.

Стоит отметить следующее свойство данного алгоритма:

$\overline{S}=X\mathrm{\setminus }S$.

$\overline{T}=Y\mathrm{\setminus }T$.

$|S|>|T|$.

Между S и $\overline{T}$ не имеется ребер, поскольку в противном случае не было бы возможности полностью вырастить венгерские деревья. Поскольку венгерские деревья выращиваются в $G_{\ell }$, альтернативные вершины в поиске помещаются в S и T. Для обновления меток следует взять метки из S и начать равномерно уменьшать их (скажем, на значение $\lambda$), в то же время увеличивая метки в T на то же значение $\lambda$. Этот подход гарантирует, что ребра, ведущие из S в T, не исчезнут из подграфа равенства (рис. 1).

Поскольку метки в S уменьшаются, ребра (в графе G), ведущие из S в $\overline{T}$, потенциально могут попасть в подграф равенства $G_{\ell }$. По мере увеличения значения $\lambda$ в какой-то момент ребро окажется в подграфе равенства. В этот момент процесс следует остановить и обновить венгерское дерево. Если вершина из $\overline{T}$, добавленная к T, сопоставлена с вершиной из $\overline{S}$, обе эти вершины перемещаются в S и T, что увеличивает размер венгерского дерева. Если вершина из $\overline{T}$ свободна, то дополняющий путь найден и данный этап завершен. Этап состоит из таких шагов, выполненных между приращениями размера паросочетания. Поскольку в G всего n вершин, у алгоритма будет не более n этапов, поскольку на каждом этапе размер паросочетания увеличивается на 1. В рамках каждого этапа размер венгерского дерева увеличивается не более n раз. Очевидно, что за время $O(n^2)$ можно обнаружить, какое ребро, ведущее из S в $\overline{T}$, первым войдет в подграф равенства (для этого нужно просто просмотреть все ребра). Общее время выполнения в таком случае составит $O(n^4)$. Теперь покажем, как реализовать это подход за время $O(n^3)$.

Рис. 1. Множества S и T, поддерживаемые алгоритмом

Более эффективная реализация

Определим провис ребра следующим образом:

$slack(x,y)=\ell (x)+\ell (y)-w(x,y)$.

Тогда

$\lambda =mi{n}_{x\in S,y\in \overline{T}}slack(x,y)$.

Интуитивно кажется, что вычисление $\lambda$ требует $O(n^2)$ времени. Для каждой вершины $y\in \overline{T}$ отметим ребро с минимальным провисом, т.е.

$slack[y]=mi{n}_{x\in S}slack(x,y)$.

Вычисление slack[y] для всех $y\in \overline{T}$ требует $O(n^2)$ времени в начале этапа. По мере продвижения по данному этапу все значения провисов легко обновляются за время O(n), поскольку все они изменяются на одну и ту же величину (метки вершин из S уменьшаются равномерным образом). При перемещении вершины u из $\overline{S}$ в S необходимо перевычислить провисы вершин в $\overline{T}$, что требует O(n) времени. Однако перемещать вершину из $\overline{S}$ в S можно не более n раз.

Таким образом, каждый этап может быть реализован за время $O(n^2)$. Поскольку имеется n этапов, общее время выполнения составиет $O(n^3)$. Для разреженных графов есть способ реализации алгоритма с временем выполнения O(n(m + n log n)) с использованием потоков минимальной стоимости [1], где m – количество ребер.

Применение

Паросочетание в двудольных графах имеет множество областей применения – например, при планировании заданий единичной длины с целочисленными значениями времени запуска и предельного срока окончания, даже в присутствии штрафных санкций, зависящих от времени.

Открытые вопросы

Необходимо разработать алгоритм с линейным или близким к линейному временем выполнения.

Литература

Некоторые книги, посвященные комбинаторной оптимизации, включают описания алгоритмов поиска паросочетания во взвешенных двудольных графах (см. [2, 5]). Также информацию об этом можно найти в статье Габова [3].

1. Ahuja, R., Magnanti, T., Orlin, J.: Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. Prentice Hall, Englewood Cliffs (1993)

2. Cook, W., Cunningham, W., Pulleyblank,W., Schrijver,A.: Combinatorial Optimization. Wiley, New York (1998)

3. Gabow, H.: Data structures for weighted matching and nearest common ancestors with linking. In: Symp. on Discrete Algorithms, 1990, pp. 434-443

4. Kuhn, H.: The Hungarian method for the assignment problem. Naval Res. Logist. Quart. 2,83-97 (1955)

5. Lawler, E.: Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Holt, Rinehart and Winston (1976)

6. Munkres, J.: Algorithms for the assignment and transportation problems. J. Soc. Ind. Appl. Math. 5, 32-38 (1957)