Общий алгоритм обхода графа с запоминанием дуг

Задача

О б ъ е к т ы. Ориентированный граф [math]\displaystyle{ G }[/math], каждая вершина которого может находиться в одном из двух состояний: "помечена", "непомечена".

О п е р а ц и и. Для любой вершины [math]\displaystyle{ p }[/math] графа [math]\displaystyle{ G }[/math] операция ПОМЕТИТЬ([math]\displaystyle{ p }[/math]) выполнима, если [math]\displaystyle{ p }[/math] находится в состоянии "непомечена", и при своем выполнении переводит [math]\displaystyle{ p }[/math] в состояние "помечена", а предикат НЕПОМЕЧЕНА([math]\displaystyle{ p }[/math]) ложен, если p находится в состоянии "помечена".

Д а н о. Задана вершина [math]\displaystyle{ p_0 }[/math] такая, что каждая вершина графа [math]\displaystyle{ G }[/math], достижимая из [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], находится в состоянии "непомечена".

Т р е б у е т с я. Перевести в состояние "помечена" все вершины графа [math]\displaystyle{ G }[/math], достижимые из [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

З а м е ч а н и е. Предполагается, что процедура ПОМЕТИТЬ([math]\displaystyle{ p }[/math]) при своем выполнении осуществляет определенные действия с информационным содержимым вершины [math]\displaystyle{ p }[/math], для реализации которых и производится обход графа.

Решение

М е т о д.

проц ЛЕС([math]\displaystyle{ p_0 }[/math]: вершина) =

1.____[math]\displaystyle{ S }[/math] : семейство дуг = [math]\displaystyle{ \empty }[/math];

2.____[math]\displaystyle{ q }[/math]: вершина = [math]\displaystyle{ p_0 }[/math];

3.____[math]\displaystyle{ L }[/math] : начало ПОМЕТИТЬ(q);

4.__________[math]\displaystyle{ S \Leftarrow \overline{\ni} }[/math]ИСХОД([math]\displaystyle{ q }[/math]};

5.__________ пока [math]\displaystyle{ S \neq \empty }[/math] цикл

6.__________________[math]\displaystyle{ q }[/math] := КОНЕЦ([math]\displaystyle{ \overline{\ni}S }[/math]);

7.__________________если НЕПОМЕЧЕНА([math]\displaystyle{ q }[/math]) то начать [math]\displaystyle{ L }[/math] все

____________ все

_____ конец

все

П о я с н е н и я. Рассмотрим следующий граф

При выполнении ЛЕС([math]\displaystyle{ p_0 }[/math]) состояние [math]\displaystyle{ S }[/math] меняется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \empty, \{ u_1,u_2,u_3 \}, \{ u_2,u_3 \}, \{ u_2,u_3,u_4 \}, \{u_3,u_4 \},\{ u_4 \}, \{ u_6,u_5,u_4 \}, \{ u_5,u_4 \}, \{ u_4\}, \empty }[/math]

а вершины графа посещаются в следующей последовательности:

[math]\displaystyle{ p_0, p_2, p_1 }[/math]

С в о й с т в а.

1. Временная сложность алгоритма составляет [math]\displaystyle{ O(k) }[/math] времени, где [math]\displaystyle{ k }[/math] — число дуг графа [math]\displaystyle{ G }[/math], достижимых из вершины [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

2. Алгоритм изменяет состояние непомеченной вершины [math]\displaystyle{ q }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ q }[/math] достижима из [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

3. Если [math]\displaystyle{ S }[/math] является стеком, то процедура помечает вершины графа [math]\displaystyle{ G }[/math], достижимые из [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], в порядке поиска в глубину, а если [math]\displaystyle{ S }[/math] — очередь, то вершины помечаются в порядке поиска в ширину.

Литература

• Касьянов В. Н., Евстигнеев В. А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003, 1104 С.