Функция Акермана: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
 
Строка 1: Строка 1:
'''Функция Акермана''' (''[[Ackermann's function]]'') -
'''Функция Акермана''' (''[[Ackermann's function]]'')
Функция <math>A</math>, индуктивно заданная на парах неотрицательнх целых чисел
Функция <math>\,A,</math> индуктивно заданная на парах неотрицательнх целых чисел




<math>
:::::<math>
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
A(0,n) = n + 1; \\
A(0,n) = n + 1; \\
Строка 15: Строка 15:




<math>
:::::<math>
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
A(1,n) = n+2; \\
A(1,n) = n+2; \\
Строка 24: Строка 24:




Высокая рекурсивность этой функции используется для проверки
Высокая рекурсивность этой функции используется для проверки способности компиляторов выполнять рекурсию. Эта функция, названная в честь У. Акермана, является примером функции, которая вообще
способности компиляторов выполнять рекурсию. Эта функция, названная в
рекурсивна, а не примитивно рекурсивна вследствие очень быстрого возрастания ее значения по мере увеличения <math>\,m.</math> Функцию Акермана можно также рассматривать как функцию Ack одной переменной:
честь У.Акермана, является примером функции, которая вообще
:::::<math>\,\mbox{Ack}(n) = A(n,n),</math>
рекурсивна, а не примитивно рекурсивна вследствие очень быстрого
возрастания ее значения по мере увеличения <math>m</math>. Функцию Акермана можно
также рассматривать как функцию Ack одной переменной:
<math>\mbox{Ack}(n) = A(n,n),</math>


где <math>A</math> определено, как показано выше. Для нее имеем
где <math>\,A</math> определено, как показано выше. Для нее имеем




<math>
:::::<math>
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\mbox{Ack}(0) = 1, \\
\mbox{Ack}(0) = 1, \\
Строка 43: Строка 39:




Определим теперь функцию <math>G(n)</math> как наименьшее целое число <math>k</math>, для
Определим теперь функцию <math>\,G(n)</math> как наименьшее целое число <math>\,k,</math> для
которого <math>\mbox{Ack}(k) \geq n</math>. Функция <math>G</math> растет очень медленно.
которого <math>\mbox{Ack}(k) \geq n.</math> Функция <math>\,G</math> растет очень медленно.
Действительно, <math>G(n) \leq 5</math> для всех "практических" значений <math>n</math>, а
Действительно, <math>G(n) \leq 5</math> для всех "практических" значений <math>\,n,</math> а
именно для всех <math>n \leq 2^{65536}</math>. Функция <math>G(n)</math> используется при
именно для всех <math>n \leq 2^{65536}.</math> Функция <math>\,G(n)</math> используется при
оценке трудоемкости [[алгоритм|алгоритмов]].
оценке трудоемкости [[алгоритм|алгоритмов]].
==Литература==
==Литература==
[Словарь]
* Толковый словарь по вычислительным системам. — М.: Машиностроение, 1991.

Текущая версия от 12:30, 29 сентября 2011

Функция Акермана (Ackermann's function) — Функция [math]\displaystyle{ \,A, }[/math] индуктивно заданная на парах неотрицательнх целых чисел


[math]\displaystyle{ \begin{array}{c} A(0,n) = n + 1; \\ A(m+1,0) = A(m,1); \\ A(m+1, n+1) = A(m, A(m+1,n)), \end{array} }[/math]


где [math]\displaystyle{ m, n \geq 0 }[/math]. Следовательно,


[math]\displaystyle{ \begin{array}{c} A(1,n) = n+2; \\ A(2,n) = 2n+3; \\ A(3,n) = 2^{n+3} - 3. \end{array} }[/math]


Высокая рекурсивность этой функции используется для проверки способности компиляторов выполнять рекурсию. Эта функция, названная в честь У. Акермана, является примером функции, которая вообще рекурсивна, а не примитивно рекурсивна вследствие очень быстрого возрастания ее значения по мере увеличения [math]\displaystyle{ \,m. }[/math] Функцию Акермана можно также рассматривать как функцию Ack одной переменной:

[math]\displaystyle{ \,\mbox{Ack}(n) = A(n,n), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \,A }[/math] определено, как показано выше. Для нее имеем


[math]\displaystyle{ \begin{array}{c} \mbox{Ack}(0) = 1, \\ \mbox{Ack}(i) = 2^{\mbox{Ack}(i-1)}\mbox{ для }i \gt 0. \end{array} }[/math]


Определим теперь функцию [math]\displaystyle{ \,G(n) }[/math] как наименьшее целое число [math]\displaystyle{ \,k, }[/math] для которого [math]\displaystyle{ \mbox{Ack}(k) \geq n. }[/math] Функция [math]\displaystyle{ \,G }[/math] растет очень медленно. Действительно, [math]\displaystyle{ G(n) \leq 5 }[/math] для всех "практических" значений [math]\displaystyle{ \,n, }[/math] а именно для всех [math]\displaystyle{ n \leq 2^{65536}. }[/math] Функция [math]\displaystyle{ \,G(n) }[/math] используется при оценке трудоемкости алгоритмов.

Литература

  • Толковый словарь по вычислительным системам. — М.: Машиностроение, 1991.