Декодирование при помощи линейных программ

Ключевые слова и синонимы

LP-декодирование; коды с исправлением ошибок; коды с малой плотностью проверок на четность; LDPC-коды; псевдокодовые слова; распространение доверия

Постановка задачи

Коды с исправлением ошибок являются фундаментальными инструментами, используемыми для передачи цифровой информации по ненадежным каналам. Их изучение восходит к работам Хэмминга и Шеннона, которые использовали их в качестве основы для разработки теории передачи информации. Проблема декодирования исходной информации вплоть до полной реализации потенциала системы коррекции ошибок часто является очень сложной, особенно для современных кодов, которые приближаются к теоретическим пределам каналов связи.

Под LP-декодированием [4, 5, 8] понимается применение релаксации линейного программирования (LP) к задаче декодирования кода с исправлением ошибок. Релаксация линейного программирования является стандартной техникой в алгоритмах аппроксимации и исследовании операций и занимает центральное место при изучении эффективных алгоритмов для поиска хороших (хотя и субоптимальных) решений очень сложных задач оптимизации [13]. LP-декодеры имеют строгие комбинаторные характеристики успеха декодирования, которые можно использовать для анализа эффективности исправления ошибок.

Наибольшую актуальность приобрело LP-декодирование кодов с малой плотностью проверок на четность (LDPC-кодов) [9] в силу высокого качества исправления ими ошибок. Применение LP-декодера для анализа этих кодов особенно привлекательно, потому что стандартные алгоритмы передачи сообщений, такие как распространение доверия (см. [15]), используемые для декодирования, часто трудно поддаются анализу, а производительность LP-декодирования тесно связана с этими методами.

Коды с исправлением ошибок и декодирование по принципу максимального правдоподобия

Вначале представим очень краткий обзор кодов с исправлением ошибок, достаточный для формулировки понятия LP-декодера. Более полное описание кодов с исправлением ошибок в данном контексте можно найти в учебниках, посвященных данному вопросу (например, [11]).

Двоичный код с исправлением ошибок представляет собой подмножество [math]\displaystyle{ C \subseteq \{ 0, 1 \}^n }[/math]. Скорость кода C равна [math]\displaystyle{ r = log(|C|)/n }[/math]. Линейный двоичный код – это линейное подпространство [math]\displaystyle{ \{0, 1 \}^n }[/math]. Кодовое слово представляет собой вектор [math]\displaystyle{ y \in C }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ 0^n }[/math] всегда является кодовым словом линейного кода; этот факт пригодится позже. Когда код используется для коммуникации, кодовое слово [math]\displaystyle{ \dot{y} \in C }[/math] передается по зашумленному каналу, в результате чего на приемник поступает некоторое принятое слово [math]\displaystyle{ \hat{y} \in \Sigma^n }[/math], где [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] – некоторый алфавит, зависящий от модели канала. Обычно при LP-декодировании предполагается симметричный канал без запоминания данных. Одним из распространенных примеров таких каналов является двоичный симметричный канал (BSC) с параметром p, который будем называть [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math], где 0 < p < 1/2. В канале [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math] поддерживается алфавит [math]\displaystyle{ \Sigma = \{ 0, 1 \} }[/math]; для каждого i принятый символ [math]\displaystyle{ \hat{y}_i }[/math] равен [math]\displaystyle{ \dot{y}_i }[/math] с вероятностью p и [math]\displaystyle{ \hat{y}_i = 1 - \dot{y}_i }[/math] в противном случае. LP-декодирование работает с более широким спектром каналов, но далее будет рассматриваться схема [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math].

Задача декодирования по принципу максимального правдоподобия (ML) выглядит следующим образом: пусть имеется принятое слово [math]\displaystyle{ \hat{y} \in \{ 0, 1 \}^n }[/math]; необходимо найти кодовое слово [math]\displaystyle{ y^* \in C }[/math], которое с наибольшей вероятностью было передано по каналу. Определив вектор [math]\displaystyle{ \gamma \in \{ -1, +1 \}^n }[/math], где [math]\displaystyle{ \gamma_i = 1 - 2 \hat{y}_i }[/math], легко показать:

(1) [math]\displaystyle{ y^* = \arg min _{y \in C} \sum_i \gamma_i y_i }[/math]

Сложность задачи ML-декодирования сильно зависит от используемого кода. Для простых кодов, таких как код повторения [math]\displaystyle{ C = \{ 0^n, 1^n \} }[/math], она проста; для более сложных (и высокоскоростных) кодов, таких как LDPC-коды, ML-декодирование является NP-трудной задачей [1].

LP-декодирование

Поскольку ML-декодирование в общем случае может быть очень трудным, приходится обращаться к субоптимальным решениям, которые могут быть найдены эффективным образом. Вместо того, чтобы пытаться решить (1), LP-декодирование ослабляет ограничение [math]\displaystyle{ y \in C }[/math] и требует, чтобы выполнялось [math]\displaystyle{ y \in \mathcal{P} }[/math] для некоторого кратко описываемого линейного политопа [math]\displaystyle{ \mathcal{P} \subseteq [ 0, 1 ]^n }[/math], что дает следующую линейную программу:

(2) [math]\displaystyle{ y_{LP} = \arg min _{y \in \mathcal{P}} \sum_{i = 1}^n \gamma_i y_i }[/math]

При этом политоп должен включать все кодовые слова и не включать ни одного целого некодового слова. Такой политоп [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] называется правильным для кода C, если [math]\displaystyle{ \mathcal{P} \cap \{ 0, 1 \}^n = C }[/math].

LP-декодер работает следующим образом. Нужно решить линейную программу в (2), чтобы получить [math]\displaystyle{ y_{LP} \in [0, 1]^n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ y_{LP} }[/math] является целым (т. е. все его элементы равны 0 или 1), вывести [math]\displaystyle{ y_{LP} }[/math]; в противном случае вывести «ошибка». Согласно определению правильного политопа, если LP-декодер выводит кодовое слово, то оно гарантированно равно ML-кодовому слову y*. Данный факт известен как свойство ML-сертификации.

Сравнение с ML-декодированием

Успешным считается декодер, который выдает изначальное кодовое слово, переданное по каналу, а качество алгоритма измеряется вероятностью того, что это произойдет. (Другой распространенной невероятностной мерой является гарантия производительности в наихудшем случае, которая измеряет, сколько инвертированных разрядов может допустить алгоритм, чтобы при этом гарантированно добиться успеха). Заметим, что у* – это наиболее вероятное переданное кодовое слово [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math], но не всегда случается так, что [math]\displaystyle{ y^* = \dot{y} }[/math]. Однако ни один декодер не может работать лучше ML-декодера, поэтому полезно использовать ML-декодирование в качестве основы для сравнения.

Рисунок 1. Политоп декодирования [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] (пунктирная линия) и выпуклая оболочка [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] (сплошная линия) кодовых слов [math]\displaystyle{ \dot{y}, y_1, y_2 }[/math] и [math]\displaystyle{ y_3 }[/math]. Также показаны четыре возможных случая (a-d) целевой функции и нормальные конусы для [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math].

На рисунке 1 представлена геометрическая перспектива LP-декодирования и его связь с точным ML-декодированием. Оба декодера используют одну и ту же целевую функцию LP, но с разными наборами ограничений. При точном ML-декодировании набор ограничений представляет собой выпуклую оболочку [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] кодовых слов (т. е. множество точек, которые являются выпуклыми комбинациями кодовых слов из C), тогда как в ослабленном LP-декодировании используется более объемный политоп [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math]. На рис. 1 четыре стрелки, обозначенные (a)-(d), соответствуют различным «зашумленным» версиям целевой функции LP. (a) Если шум очень мал, то целевая функция указывает на переданное кодовое слово [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math], и, следовательно, и ML-декодирование, и LP-декодирование оказываются успешными, поскольку оба представляют переданное кодовое слово [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math] в качестве оптимальной точки. (b) При повышении уровня шума ML-декодирование срабатывает, а LP-декодирование не удается, так как дробная вершина y' является оптимальной для релаксации. (c) При еще большем росте шума ML-декодирование не срабатывает, так как оптимальной теперь является вершина [math]\displaystyle{ y_3 }[/math]; у LP-декодирования все еще имеется дробный оптимум y', так что эта ошибка в некотором смысле «обнаружена». (d) Наконец, при сильном шуме и ML-декодирование, и LP-декодирование в качестве оптимума выбирают [math]\displaystyle{ y_3 }[/math], поэтому оба метода терпят неудачу, и ошибка «не обнаружена». Заметим, что в последних двух случаях (c, d), когда ML-декодирование не срабатывает, неудача LP-декодера в некотором смысле является виной самого кода, а не декодера.

Нормальные конусы и С-симметрия

(Отрицательные) нормальные конусы для [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math] (также называемые фундаментальными конусами [10]) определяются следующим образом:

[math]\displaystyle{ N_{\dot{y}}(\mathcal{P}) = \{ \gamma \in \mathbb{R}^n : \sum_i \gamma_i (y_i - \dot{y}_i ) \ge 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ y \in \mathcal{P} \} }[/math],

[math]\displaystyle{ N_{\dot{y}}(\mathcal{C}) = \{ \gamma \in \mathbb{R}^n : \sum_i \gamma_i (y_i - \dot{y}_i ) \ge 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ y \in \mathcal{C} \} }[/math].

Заметим, что [math]\displaystyle{ N_{\dot{y}}(\mathcal{P}) }[/math] соответствует множеству векторов стоимости [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], таких, что [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math] является оптимальным решением (2). Множество [math]\displaystyle{ N_{\dot{y}}(\mathcal{C}) }[/math] имеет аналогичную интерпретацию как множество векторов стоимости [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], для которых [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math] является кодовым словом при декодировании по принципу максимального правдоподобия (ML). Поскольку [math]\displaystyle{ \mathcal{P} \subset \mathcal{C} }[/math], из определения следует, что [math]\displaystyle{ N_y(\mathcal{C}) \supset N_y(\mathcal{P}) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ y \in C }[/math]. На рис. 1 показаны эти два конуса и их взаимосвязь.

Вероятность успеха LP-декодера равна общей вероятностной мере [math]\displaystyle{ N_{\dot{y}}(\mathcal{P}) }[/math] при распределении на векторах стоимости, определяемом каналом. Вероятность успеха ML-декодирования аналогичным образом связана с вероятностной мерой в нормальном конусе [math]\displaystyle{ N_y(\mathcal{C}) }[/math]. Таким образом, расхождение между нормальными конусами [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math] является мерой разрыва между точным ML- и расслабленным LP-декодированием.

Этот анализ выполнен для конкретного переданного кодового слова [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math], но хотелось бы применить его в общем случае. При работе с линейными кодами для большинства декодеров обычно можно предположить, что передается произвольное кодовое слово, поскольку область принятия решения для успешного декодирования симметрична. То же самое справедливо и для LP-декодирования (доказательство см. в [4]), при условии, что политоп [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] обладает свойством C-симметричности, определяемым следующим образом:

Определение 1. Правильный политоп [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] для двоичного кода C является C-симметричным, если для всех [math]\displaystyle{ y \in \mathcal{P} }[/math] и [math]\displaystyle{ \dot{y} \in C }[/math] имеет место [math]\displaystyle{ y \in \mathcal{P} }[/math], где [math]\displaystyle{ y'_i = |y_i - \dot{y}_i | }[/math].

Использование двойственной задачи для доказательства границ ошибок

Для доказательства успешности LP-декодирования необходимо показать, что [math]\displaystyle{ \dot{y} }[/math] является оптимальным решением линейной программы (2). Если код C линейный, а релаксация – правильная и C-симметричная, то можно предположить, что [math]\displaystyle{ \dot{y} = 0^n }[/math], а затем показать, что [math]\displaystyle{ 0^n }[/math] является оптимальным. Рассмотрим двойственную задачу LP-декодирования в (2). Если существует допустимая точка двойственной линейной программы, имеющая ту же (т. е. нулевую) стоимость, что и точка [math]\displaystyle{ 0^n }[/math] прямой линейной программы, то [math]\displaystyle{ 0^n }[/math] должна быть оптимальной точкой в задаче LP-декодирования. Поэтому, чтобы доказать успешность LP-декодера, достаточно показать точку с нулевой стоимостью двойственной задачи.

(На самом деле, поскольку существование точки двойственной задачи с нулевой стоимостью доказывает только то, что [math]\displaystyle{ 0^n }[/math] является одной из возможно многих оптимальных точек решения прямой задачи, необходимо проявить несколько большую осторожность; в данной статье рассмотрение этого вопроса не предусматривается).

Основные результаты

LP-декодеры в основном изучались в контексте кодов с малой плотностью проверок на четность [9] и их обобщений на коды расширителей [12]. Также были определены LP-декодеры для турбокодов [2], но результаты их применения не столь хороши. В данном кратком изложении основных результатов приводятся границы вероятности ошибки в кодовом слове (WER), или вероятности того, что декодер не выдает переданное слово при наличии шума в канале. Эти границы относятся к конкретным семействам кодов, которые определяются как бесконечное множество кодов возрастающей длины, чья скорость ограничена снизу некоторой константой. Границы даются в асимптотической форме (без инстанцирования констант) и только для двоичного симметричного канала.

Для LP-декодирования и смежных понятий были получены многие другие важные результаты, которые здесь не упоминаются. Некоторые из этих общих областей рассматриваются в следующем разделе; подробную библиографию можно найти в работе [3].

Коды с малой плотностью проверок на четность

Политоп [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] для LDPC-кодов, впервые определенный в [4, 8, 10], основан на лежащем в основе кода графе Таннера и имеет линейное число переменных и ограничений. Если граф Таннера достаточным образом расширяется, то известно, что LP-декодирование способно исправить постоянную долю ошибок в канале и, таким образом, имеет обратный экспоненциальному коэффициент ошибок. Это было доказано с помощью двойственной задачи:

Теорема 1 [6]. Для любой скорости r > 0 имеется константа [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] такая, что существует семейство передаваемых со скоростью [math]\displaystyle{ r }[/math] LDPC-кодов длины n, при работе с которым LP-декодер успешен до тех пор, пока каналом инвертированы не более [math]\displaystyle{ \epsilon n }[/math] разрядов. Отсюда следует, что существует константа [math]\displaystyle{ \epsilon' \gt 0 }[/math], такая, что вероятность ошибок в кодовых словах на канале [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math] с [math]\displaystyle{ p \lt \epsilon' }[/math] составляет не более [math]\displaystyle{ 2^{- \Omega(n)} }[/math].

Коды расширителей

Пропускная способность канала связи ограничивает сверху скорость, которой можно достичь для некоторого семейства кодов и при этом получить вероятность ошибок в кодовых словах, стремящуюся к нулю по мере увеличения длины кода. Обозначим за [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_p }[/math] пропускную способность канала [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math]. Используя семейство кодов, основанных на расширителях [12], LP-декодирование может достичь скорости, приближающейся к пропускной способности. Однако, по сравнению с LDPC-кодами, это достигается ценой увеличения сложности декодирования, так как размер линейной программы экспоненциально зависит от разницы между скоростью и пропускной способностью.

Теорема 2 [7]. Для любого p > 0 и любой скорости [math]\displaystyle{ r \lt \mathcal{C}_p }[/math] существует семейство передаваемых со скоростью [math]\displaystyle{ r }[/math] кодов расширителей длины n, такое, что вероятность ошибок в кодовых словах при LP-декодировании в [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math] составляет не более [math]\displaystyle{ 2^{- \Omega(n)} }[/math].

Турбокоды

Преимуществом турбокодов [2] является то, что они могут кодироваться за линейное время, даже в потоковом режиме. Простой формой турбокода являются коды с повторением и накоплением. LP-декодер для турбокодов и их разновидностей был впервые определен в работах [4, 5] и основывался на решетчатой структуре компонентных сверточных кодов. Из-за некоторых свойств турбокодов невозможно доказать для них столь же сильные границы, как для LDPC-кодов, однако известно следующее:

Теорема 3 [5]. Существуют семейство передаваемых со скоростью 1/2 - o(1) кодов с повторением и накоплением длины n и константа [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math], такая, что в канале [math]\displaystyle{ BSC_p }[/math] при [math]\displaystyle{ p \lt \epsilon }[/math] вероятность ошибок LP-декодера в кодовых словах не превышает [math]\displaystyle{ n^{- \Omega(1)} }[/math].

Применение

До недавних пор наибольшее внимание в контексте LP-декодирования уделялось LDPC-кодам. Применение линейных программ для этого семейства кодов не только служит интересной альтернативой более традиционным итерационным методам [15], но и дает полезный инструмент для анализа этих методов; эта идея впервые была рассмотрена в работах [8, 10, 14]. Итеративные методы, такие как распространение доверия, используют локальные вычисления на графе Таннера для обновления аппроксимаций предельных вероятностей каждого бита кода. В этом типе анализа вершины политопа [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] называются псевдокодовыми словами и, как правило, совпадают с неподвижными точками этого итеративного процесса. Другие понятия структур, подобных псевдокодовым словам, такие как множества остановки, также совпадают с вершинами политопа. Понимание этих структур вдохновило разработчиков на создание новых кодов для итеративного и LP-декодирования. (Более полную библиографию этой работы см. в [3]).

Сам метод декодирования может быть расширен многими способами. Добавляя избыточную информацию к описанию кода, можно получить более жесткие наборы ограничений для повышения производительности декодера при исправлении ошибок, хотя и с увеличением сложности. Адаптивные алгоритмы, которые пытаются добавить ограничения «на лету», также исследовались при помощи метода ветвления и границ или других техник. Кроме того, LP-декодирование стало мотивацией к использованию других методов из теории оптимизации при декодировании кодов с исправлением ошибок; соответствующие ссылки см. в [3].

Открытые вопросы

Метод LP-декодирования предлагает простой, эффективный и поддающийся анализу подход к декодированию кодов с исправлением ошибок. Известные на данный момент результаты служат доказательством того, что сильные границы возможны, но пока еще остаются без ответа важные вопросы. Хотя LP-декодеры могут достигать максимальной пропускной способности со временем декодирования, полиномиальным от длины кода, сложность декодера все еще экспоненциально зависит от разрыва между скоростью и пропускной способностью (как и для всех других известных доказуемо эффективных декодеров, также достигающих пропускной способности). Уменьшение этой зависимости было бы большим достижением, и теоретически LP-декодирование могло бы помочь в этом. Также важным направлением дальнейших исследований является повышение доли ошибок, исправляемых LP-декодированием.

Еще один интересный вопрос – существуют ли семейства кодов с линейным расстоянием и постоянной скоростью, для точного декодирования которых можно разработать линейные программы полиномиального размера. Другими словами, есть ли семейства кодов с описанными характеристиками, выпуклые оболочки которых имеют полиномиальное число граней? Если да, то для такого семейства LP-декодирование будет эквивалентно ML-декодированию. Если нет, то это служит убедительным доказательством распространенного мнения, заключающегося в том, что субоптимальное декодирование при использовании хороших кодов неизбежно.

Преимуществом LP-декодирования является упомянутое ранее свойство ML-сертификации, которым не обладает большинство других стандартных субоптимальных декодеров. Это свойство открывает возможность использования широкого спектра эвристик для улучшения производительности декодирования, некоторые из которых были проанализированы, но в основном остаются неизученными.

LP-декодирование исследовалось большей частью для LDPC-кодов в симметричных каналах без запоминания данных. Линейные программы для турбокодов были определены, но доказанные до сих пор границы ошибок не являются удовлетворительным объяснением превосходной производительности, наблюдаемой на практике. Другие типы кодов и каналов были удостоены гораздо меньшего внимания или вообще остались вне поля зрения.

См. также

• Декодирование кодов Рида–Соломона
• Изучение высоких коэффициентов Фурье булевых функций
• Проверка линейности / тестирование кодов Адамара
• Списочное декодирование в приближении к максимальной пропускной способности: свернутые коды Рида–Соломона

Литература

1. Berlekamp, E., McEliece, R., van Tilborg, H.: On the inherent intractability of certain coding problems. IEEE Trans. Inf. Theory 24,384-386(1978)

2. Berrou, C., Glavieux, A., Thitimajshima, P.: Near Shannon limit error-correcting coding and decoding: turbo-codes. In: Proc. IEEE Int. Conf. Comm. (ICC), pp. 1064-1070. Geneva, 23-26 May 1993

3. Boston, N., Ganesan, A., Koetter, R., Pazos, S., Vontobel, P.: Papers on pseudocodewords. HP Labs, Palo Alto. http://www.pseudocodewords.info.

4. Feldman, J.: Decoding Error-Correcting Codes via Linear Programming. Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology (2003)

5. Feldman, J., Karger, D.R.: Decoding turbo-like codes via linear programming. In: Proc. 43rd annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS), Vancouver, 16-19 November 2002

6. Feldman, J., Malkin, T., Servedio, R.A., Stein, C., Wainwright, M.J.: LP decoding corrects a constant fraction of errors. In: Proc. IEEE International Symposium on Information Theory, Chicago, 27 June - 2 July 2004

7. Feldman, J., Stein, C.: LP decoding achieves capacity. In: Symposium on Discrete Algorithms (SODA '05), Vancouver, January (2005)

8. Feldman, J., Wainwright, M.J., Karger, D.R.: Using linear programming to decode linear codes. In: 37th annual Conf. on Information Sciences and Systems (CISS '03), Baltimore, 12-14 March 2003

9. Gallager, R.: Low-density parity-check codes. IRE Trans. Inform. Theory, IT-8 , pp. 21 -28 (1962)

10. Koetter, R., Vontobel, P.: Graph covers and iterative decoding of finite-length codes. In: Proc. 3rd International Symposium on Turbo Codes and Related Topics, pp. 75-82, September 2003. Brest, France (2003)

11. MacWilliams, F.J., Sloane, N.J.A.: The Theory of Error Correcting Codes. North-Holland, Amsterdam (1981)

12. Sipser, M., Spielman, D.: Expander codes. IEEE Trans. Inf. Theory 42,1710-1722(1996)

13. Vazirani, V.V.: Approximation Algorithms. Springer, Berlin (2003)

14. Wainwright, M., Jordan, M.: Variational inference in graphical models: the view from the marginal polytope. In: Proc. 41st Allerton Conf. on Communications, Control, and Computing, Monticello, October (2003)

15. Wiberg, N.: Codes and Decoding on General Graphs, Ph. D. thesis, Linkoping University, Sweden (1996)