Невозможность асинхронного консенсуса

Ключевые слова и синонимы

Консенсус без ожидания; согласование

Постановка задачи

Рассмотрим распределенную систему, состоящую из множества процессов, которые взаимодействуют между собой путем отправки и получения сообщений. Сеть представляет собой мультимножество сообщений, в котором каждое сообщение адресовано некоторому процессу. Процесс – это машина состояний, которая может выполнять три вида шагов.

• На шаге отправки (send) процесс помещает сообщение в сеть.

• На шаге получения (receive) процесс A либо считывает и удаляет из сети сообщение, адресованное A, либо считывает выделенное нулевое значение, оставляя сеть без изменений. Если сообщение, адресованное A, помещено в сеть, и если A последовательно выполнит бесконечное число шагов получения, то в конце концов получит это сообщение.

• В состоянии вычисления (computation) процесс изменяет свое состояние без коммуникаций с каким-либо другим процессом.

Процессы являются асинхронными: не существует ограничений на их относительную скорость. Процессы могут претерпевать сбои: они могут просто остановиться и больше не делать никаких шагов. Далее рассматривается выполнение, в ходе которого сбой происходит не более чем у одного процесса.

В задаче о достижении консенсуса каждый процесс начинает работу с частного входного значения, взаимодействует с остальными, а затем останавливается с найденным значением решения. Такие значения должны удовлетворять следующим свойствам:

• Согласованность: значения решений всех процессов должны быть согласованными.

• Допустимость: каждое значение решения должно быть входным значением некоторого процесса.

• Завершение: каждый процесс без сбоев должен принять решение за конечное число шагов.

Фишер, Линч и Патерсон показали, что не существует протокола, решающего задачу о достижении консенсуса в любой асинхронной системе передачи сообщений, где даже один процесс может завершиться сбоем. Этот результат стал одним из самых влиятельных в области распределенных вычислений и заложил основу для целого ряда последующих исследований.

Терминология

Без потери общности можно ограничиться бинарным консенсусом, у которого входные значения могут быть равны 0 или 1. Состояние протокола – это комплекс состояний процессов и мультимножества сообщений, проходящих по сети. Начальным состоянием является состояние протокола до того, как какой-либо процесс начал движение, а конечным – состояние протокола после завершения всех процессов. Значение решения в любом конечном состоянии представляет собой значение, принятое всеми процессами в этом состоянии.

Набор возможных состояний любого завершающегося протокола образует дерево, где каждая вершина представляет возможное состояние протокола, а каждое ребро – возможный шаг некоторого процесса. Поскольку протокол должен завершиться, дерево является конечным. Каждая вершина-лист представляет конечное состояние протокола со значением решения 0 или 1.

Бивалентное состояние протокола – это состояние, в котором конечное значение решения еще не фиксировано. Из любого бивалентного состояния существует выполнение, в котором конечное значение решения равно 0, и другое, в котором оно равно 1. Унивалентное состояние протокола – это состояние, в котором исход фиксирован. Каждое выполнение, начиная с унивалентного состояния, находит решение с одним и тем же значением. 1-валентное состояние протокола является унивалентным с конечным значением решения 1; аналогично для 0-валентного состояния.

Состояние протокола является критическим, если:

• оно бивалентно и

• если какой-либо процесс совершает шаг, состояние протокола становится унивалентным.

Основные результаты

Лемма 1. Каждый протокол консенсуса имеет бивалентное начальное состояние.

Доказательство. Предположим от противного, что существует протокол консенсуса для (n + 1) потоков [math]\displaystyle{ A_0, ..., A_n }[/math], в котором каждое начальное состояние является унивалентным. Обозначим за [math]\displaystyle{ s_i }[/math] начальное состояние, в котором процессы [math]\displaystyle{ A_i, ..., A_n }[/math] имеют на входе 0, а у [math]\displaystyle{ A_0, ..., A_{i - i} }[/math] на входе 1. Очевидно, что [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] является 0-валентным: все процессы имеют на входе 0, поэтому по условию допустимости все они должны прийти к решению 0. Если [math]\displaystyle{ s_i }[/math] является 0-валентным, то и [math]\displaystyle{ s_{i + 1} }[/math] тоже. Эти состояния отличаются только входными данными процесса [math]\displaystyle{ A_i }[/math]: 0 у [math]\displaystyle{ s_i }[/math] и 1 у si+1. Любое выполнение, начинающееся с [math]\displaystyle{ s_i }[/math], в котором [math]\displaystyle{ A_i }[/math] останавливается перед выполнением каких-либо шагов, неотличимо от выполнения, начинающегося с [math]\displaystyle{ s_{i + 1} }[/math], в котором [math]\displaystyle{ A_i }[/math] останавливается перед выполнением каких-либо шагов. Поскольку в первом случае процессы должны принять решение 0, во втором они должны принять решение 1. А поскольку существует одно исполнение, начинающееся с [math]\displaystyle{ s_{i + 1} }[/math], которое принимает решение 0, и поскольку согласно гипотезе [math]\displaystyle{ s_{i + 1} }[/math] унивалентно, то [math]\displaystyle{ s_{i + 1} }[/math] является 0-валентным. Отсюда следует, что состояние [math]\displaystyle{ s_{n + 1} }[/math], в котором все процессы начинаются со входного значения 1, является 0-валентным, что противоречит условию.

Лемма 2. Каждый протокол консенсуса имеет критическое состояние.

Доказательство от противного. Согласно лемме 1, протокол имеет бивалентное начальное состояние. Запустим выполнение протокола в этом состоянии. Многократно выбираем процесс, следующий шаг которого оставляет протокол в бивалентном состоянии, и позволяем данному процессу сделать этот шаг. Либо протокол будет работать вечно, нарушая условие завершения, либо в конце концов перейдет в критическое состояние.

Теорема 3 Не существует протокола консенсуса для асинхронной системы передачи сообщений, в которой один процесс может претерпеть сбой.

Доказательство. Предположим от противного, что такой протокол существует. Будем выполнять протокол, пока он не достигнет критического состояния s. Должны существовать два процесса A и B, такие, что следующий шаг A переводит протокол в 0-валентное состояние, а следующий шаг B переводит его в 1-валентное состояние.

Начиная с s, обозначим за [math]\displaystyle{ s_A }[/math] состояние, достигаемое в случае, если A делает первый шаг, за [math]\displaystyle{ s_B }[/math] – если B делает первый шаг, за [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math] – если A делает шаг, за которым следует B, и так далее. Состояния [math]\displaystyle{ s_A }[/math] и [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math] являются 0-валентными, а [math]\displaystyle{ s_B }[/math] и [math]\displaystyle{ s_{BA} }[/math] – 1-валентными. Остается провести разбор случаев.

Из всех возможных пар шагов, которые A и B могли бы выполнить, большинство из них коммутативны: состояния [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math] и [math]\displaystyle{ s_{BA} }[/math] идентичны, что порождает противоречие, поскольку они имеют разные валентности.

Единственная пара некоммутативных шагов имеет место в случае, когда А собирается отправить сообщение В (или наоборот). Обозначим за [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math] состояние, возникающее, если А посылает сообщение В, а В затем его получает, а за [math]\displaystyle{ s_{BA} }[/math] – состояние, возникающее, если В получает другое (или нулевое) сообщение, а затем А посылает свое сообщение В. Обратите внимание, что каждый процесс, отличный от В, имеет одно и то же локальное состояние в [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math] и [math]\displaystyle{ s_{BA} }[/math]. Рассмотрим выполнение, начинающееся с [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math], в котором каждый процесс, кроме В, делает шаги в порядке очереди. Поскольку [math]\displaystyle{ s_{AB} }[/math] является 0-валентным, все эти процессы в конечном итоге найдут решение 0. Далее рассмотрим выполнение, начинающееся с [math]\displaystyle{ s_{BA} }[/math], в котором каждый процесс, отличный от В, делает шаги в порядке очереди. Поскольку [math]\displaystyle{ s_{BA} }[/math] является 1-валентным, все эти процессы в конечном итоге найдут решение 1. Но все процессы, кроме В, имеют одинаковые локальные состояния в конце каждого выполнения, поэтому они не могут принимать решения с разными значениями, что составляет противоречие.

В доказательстве этой теоремы и в доказательствах предыдущих лемм мы строим сценарии, в которых задерживается не более одного процесса. В результате данное утверждение о невозможности выполняется для любой системы, в которой один процесс может закончиться невыявляемым сбоем.

Применение

Задача о достижении консенсуса является ключевым инструментом для понимания возможностей различных асинхронных моделей вычислений.

Открытые вопросы

Существует множество открытых вопросов, касающихся разрешимости задачи о нахождении консенсуса в других моделях или при ограничениях на входные данные.

Родственные работы

Изначальная статья Фишера, Линч и Патерсона [8] до сих пор является образцом ясности.

Многие исследователи изучали альтернативные модели вычислений, в которых можно достичь консенсуса. Долев, Дворк и Стокмайер [5] рассматривают различные альтернативные модели передачи сообщений, определяя точные предположения, необходимые для возможности достижения консенсуса. Дворк, Линч и Стокмайер [6] вывели верхние и нижние границы для полусинхронной модели, в которой есть верхняя и нижняя границы времени доставки сообщений. Бен-Ор [1] показал, что введение рандомизации делает возможным консенсус в асинхронной системе передачи сообщений. Чандра и Туэг [3] продемонстрировали, что консенсус становится возможным при наличии оракула, способного (ненадежно) определить, когда процесс закончился сбоем. Каждая из процитированных здесь работ вдохновила множество последующих. Желающим разобраться в теме рекомендуем для начала прекрасный обзор Фич и Рупперта [7].

Протокол является протоколом без ожидания, если он допускает сбои в работе всех участников, кроме одного. Параллельная реализация объектов линеаризуема в случае, если каждый вызов метода мгновенно производит эффект в какой-то момент между обращением к нему и его ответом. Херлихи [9] показал, что каждому объекту совместно используемой памяти можно присвоить номер консенсуса – максимальное количество процессов, для которых существует протокол консенсуса без ожидания, использующий комбинацию памяти с возможностью чтения/записи и рассматриваемых объектов. Номера консенсуса порождают бесконечную иерархию объектов, в которой (несколько упрощая) вышестоящие объекты являются более мощными по сравнению с нижестоящими. В системе из n или более параллельных процессов невозможно построить свободную от блокировок реализацию объекта с номером консенсуса n из объекта с меньшим номером консенсуса. С другой стороны, любой объект с номером консенсуса n является универсальным в системе из n или менее процессов: он может быть использован для построения линеаризуемой реализации любого объекта без ожидания.

В 1990 году Чаудхури [4] представила задачу о согласовании k множеств (k-set agreement problem), иногда называемую задачей о нахождении консенсуса для k множеств, которая обобщает задачу достижения консенсуса, позволяя выбирать k или меньше различных значений решения. В частности, консенсусом является задача о согласовании для 1 множества. Вопрос о том, можно ли решить задачу о согласовании k множеств в асинхронных моделях передачи сообщений, оставался открытым в течение нескольких лет, пока три независимые группы исследователей [2, 10, 11] не доказали, что такого протокола не существует.

См. также

• Линеаризуемость
• Топологический подход в распределенных вычислениях

Литература

1. Ben-Or, M.: Another advantage of free choice (extended abstract): Completely asynchronous agreement protocols. In: PODC '83: Proceedings of the second annual ACM symposium on Principles of distributed computing, pp. 27-30. ACM Press, New York (1983)

2. Borowsky, E., Gafni, E.: Generalized FLP impossibility result for t-resilient asynchronous computations. In: Proceedings of the 1993 ACM Symposium on Theory of Computing, May 1993. pp. 206-215

3. Chandra, T.D.,Toueg, S.: Unreliable failure detectors for reliable distributed systems. J. ACM 43(2), 225-267 (1996)

4. Chaudhuri, S.: Agreement is harder than consensus: Set consensus problems in totally asynchronous systems. In: Proceedings Of The Ninth Annual ACM Symposium On Principles of Distributed Computing, August 1990. pp. 311-234

5. Chandhuri, S.: More Choices Allow More Faults: Set Consensus Problems in Totally Asynchronous Systems. Inf. Comput. 105(1), 132-158, July 1993

6. Dwork, C., Lynch, N., Stockmeyer, L.: Consensus in the presence of partial synchrony. J. ACM 35(2), 288-323 (1988)

7. Fich, F., Ruppert, E.: Hundreds of impossibility results for distributed computing. Distrib. Comput. 16(2-3), 121-163(2003)

8. Fischer, M., Lynch, N., Paterson, M.: Impossibility of distributed consensus with one faulty process. J. ACM 32(2), 374-382 (1985)

9. Herlihy, M.: Wait-free synchronization. ACM Trans. Program. Lang. Syst. (TOPLAS) 13(1), 124-149 (1991)

10. Herlihy, M., Shavit, N.: The topological structure of asynchronous computability. J. ACM 46(6), 858-923 (1999)

11. Saks, M.E., Zaharoglou, F.: Wait-free k-set agreement is impossible: The topology of public knowledge. SIAM J. Comput. 29(5),1449-1483(2000)