Евклидова задача коммивояжера: различия между версиями

Евклидова задача коммивояжера заключается в следующем: для заданного множества S из n точек в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R} ^d</math> найти путь минимальной длины, проходящий через каждую точку ровно один раз.

Стоимость <math>\delta (x, y)</math> дуги, соединяющей пару точек <math>x, y \in \mathbb{R} ^d</math>, равна евклидовому расстоянию между точками x и y. Иначе говоря, <math>\delta (x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^d (x_i - y_i)^2} </math>, где <math>x = (x_1, ..., x_d) \; </math> и <math>y = (y_1, ..., y_d) \; </math>. В более общем виде расстояние можно определить с использованием других норм – таких как <math>\ell _p</math>-нормы для любого p > 1, <math>\delta (x, y) = (\sum_{i=1}^d (x_i - y_i)^p)^{1/p} </math>.

Для заданного множества S точек в евклидовом пространстве <math>\mathbb{R}\ ^d</math>, для целого <math>d \ge 2 \; </math>, [[евклидов граф]] ([[евклидова сеть|сеть]]) представляет собой граф G = (S, E), где E – множество прямолинейных сегментов, соединяющих пары точек из S. Если все пары точек в S соединены дугами из E, то G называется [[полным евклидовым графом|полный евклидов граф]] на S. Стоимость графа равна сумме стоимостей дуг графа: <math>cost(G) = \sum{(x, y) \in E} \delta (x, y)</math>