Произведение графов: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Нет описания правки
Строка 1: Строка 1:
'''Произведение графов''' (''Product of graphs'') -  
'''Произведение графов''' (''[[Product of graphs]]'') -  
для данных графов <math>G_{1} = (V_{1}, E_{1})</math> и <math>G_{2} = (V_{2}, E_{2})</math>
для данных [[граф|графов]] <math>G_{1} = (V_{1}, E_{1})</math> и <math>G_{2} = (V_{2}, E_{2})</math>
произведением  называется граф <math>G = (V,E)</math>, вершины которого
произведением  называется граф <math>G = (V,E)</math>, [[вершина|вершины]] которого
<math>V(G) = V_{1} \times V_{2}</math>--- декартово произведение
<math>V(G) = V_{1} \times V_{2}</math>--- декартово произведение
множеств вершин исходных графов.
множеств вершин исходных графов.


''Декартово'' произведение <math>G =
''Декартово'' произведение <math>G =
G_{1} \Box G_{2}</math>содержит ребра  
G_{1} \Box G_{2}</math>содержит [[ребро|ребра]]


<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in
<math>((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in
Строка 40: Строка 40:
тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>или <math>x^{1} = y^{1}</math>
тогда, когда <math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>или <math>x^{1} = y^{1}</math>
и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2}.</math>
и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2}.</math>
%На рис. 1 можно видеть примеры произведений
%графов <math>G_{1} \Box G_{2}, \; G_{1} \times G_{2}, \; G_{1} \otimes
%G_{2}, \; G_{1}[G_{2}]</math>для <math>G_{1} \cong P_{2}</math>и <math>G_{2} \cong P_{3}</math>
%


''Модульное'' произведение <math>G_{1} \diamondsuit G_{2}</math>содержит ребра
''Модульное'' произведение <math>G_{1} \diamondsuit G_{2}</math>содержит ребра
Строка 63: Строка 59:
<math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2},</math>либо
<math>(x^{1},y^{1}) \in E_{1}</math>и <math>(x^{2},y^{2}) \in E_{2},</math>либо
<math>(x^{1},y^{1}) \not \in  E_{1}.</math>
<math>(x^{1},y^{1}) \not \in  E_{1}.</math>
%
%На рис.2 можно увидеть примеры произведений графов <math>G_{1} \diamondsuit
%G_{2}</math>и <math>G_{1} \Diamond G_{2}</math>для <math>G_{1} \cong P_{3}</math>и <math>G_{2} =
%\bar{P}_{3}</math>.


См. также ''Декартово произведение графов''.
 
==См. также ==
''[[Декартово произведение графов]]''.
==Литература==
==Литература==
[Berge],  
[Berge],  

Версия от 17:48, 24 декабря 2009

Произведение графов (Product of graphs) - для данных графов [math]\displaystyle{ G_{1} = (V_{1}, E_{1}) }[/math] и [math]\displaystyle{ G_{2} = (V_{2}, E_{2}) }[/math] произведением называется граф [math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math], вершины которого [math]\displaystyle{ V(G) = V_{1} \times V_{2} }[/math]--- декартово произведение множеств вершин исходных графов.

Декартово произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \Box G_{2} }[/math]содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Box G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ x^{2} = y^{2} }[/math]или [math]\displaystyle{ x^{1} = y^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}. }[/math]

Прямое (тензорное) произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \times G_{2} }[/math] содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \times G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E^{2}. }[/math]

Сильное произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \otimes G_{2} }[/math]содержит все ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \otimes G_{2}), }[/math]

которые есть и в декартовом, и в тензорном произведениях.

Композиция [math]\displaystyle{ G_{1}[G_{2}] }[/math]графов содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1}[G_{2}]) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]или [math]\displaystyle{ x^{1} = y^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}. }[/math]

Модульное произведение [math]\displaystyle{ G_{1} \diamondsuit G_{2} }[/math]содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \diamondsuit G_{2}) }[/math] тогда и

только тогда, когда [math]\displaystyle{ x^{1} \neq y^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ x^{2} \neq y^{2} }[/math]и либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}, }[/math]либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \not \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \not \in E_{2}. }[/math]

Большое модульное произведение [math]\displaystyle{ G_{1} \Diamond G_{2} }[/math]содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Diamond G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x^{1} \neq y^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ x^{2} \neq y^{2} }[/math]и либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}, }[/math]либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \not \in E_{1}. }[/math]


См. также

Декартово произведение графов.

Литература

[Berge],

[Берж],

[Оре],

[Харари],

[Лекции],

[Bondy-Murty]