Задача о выполнимости: различия между версиями
Glk (обсуждение | вклад) (Создана новая страница размером '''Задача о выполнимости''' (''Satisfiability problem'') - одна из основных ''<math>\cal NP</math>-по...) |
KEV (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Задача о выполнимости''' (''Satisfiability problem'') - | '''Задача о выполнимости''' (''[[Satisfiability problem]]'') - одна из основных [[NP-полная задача|''<math>\mathcal NP</math>-полных'' задач]]. Формулируется следующим образом. | ||
одна из основных ''<math>\ | |||
Формулируется следующим образом. | |||
У с л о в и е. Задано множество булевых переменных <math>V</math> и | У с л о в и е. Задано множество булевых переменных <math>V</math> и правильно построенное булево выражение <math>E</math> над <math>V</math>. | ||
правильно построенное булево выражение <math>E</math> над <math>V</math>. | |||
В о п р о с. Существует ли набор значений переменных | В о п р о с. Существует ли набор значений переменных множества <math>V</math>, при котором выражение <math>E</math> выполнено, т.е. принимает значение "истина"? | ||
множества <math>V</math>, при котором выражение <math>E</math> выполнено, т.е. | |||
принимает значение "истина"? | |||
Можно показать, что даже при более жестких ограничениях на | Можно показать, что даже при более жестких ограничениях на вид формулы задача выполнимости булевых формул также <math>{\mathcal NP}</math>-полна. | ||
вид формулы задача выполнимости булевых формул также <math>{\ | |||
NP}</math>-полна. | |||
Булева формула находится в ''конъюнктивной нормальной | Булева формула находится в ''конъюнктивной нормальной форме''\linebreak (КНФ), если она представляет собой произведение сумм литералов, где каждый ''литерал'' имеет вид <math>x</math> или <math>\lnot x</math> для некоторой переменной <math>x</math>. | ||
форме''\linebreak (КНФ), если она представляет собой произведение сумм | Задача выполнимости формул, находящихся в КНФ, <math>{\mathcal NP}</math>-полна. | ||
литералов, где каждый ''литерал'' имеет вид <math>x</math> или <math>\lnot | |||
x</math> для некоторой переменной <math>x</math>. | |||
Задача выполнимости формул, находящихся в КНФ, <math>{\ | |||
NP}</math>-полна. | |||
Говорят, что булева формула находится в <math>k</math>-''конъюнктивной нормальной форме'' (<math>k</math>-КНФ), если она | Говорят, что булева формула находится в <math>k</math>-''конъюнктивной нормальной форме'' (<math>k</math>-КНФ), если она представляет собой произведение сумм, состоящих не более чем | ||
представляет собой произведение сумм, состоящих не более чем | |||
из <math>k</math> литералов. Задача <math>k</math>-''выполнимости'' (<math>k</math>-''ВЫП'') | из <math>k</math> литералов. Задача <math>k</math>-''выполнимости'' (<math>k</math>-''ВЫП'') | ||
состоит в выяснении выполнимости формулы, находящейся в | состоит в выяснении выполнимости формулы, находящейся в <math>k</math>-КНФ. | ||
<math>k</math>-КНФ. | |||
Для <math>k=1</math> и 2 известны ''полиномиальные алгоритмы'', | Для <math>k=1</math> и 2 известны ''[[полиномиальный алгоритм|полиномиальные алгоритмы]]'', проверяющие <math>k</math>-выполнимость, т.е. ''1-ВЫП, 2-ВЫП'' <math>\in \mathcal NP</math>. | ||
проверяющие <math>k</math>-выполнимость, т.е. ''1-ВЫП, 2-ВЫП'' <math>\in \ | Ситуация изменяется при <math>k=3</math>, поскольку задача о 3-выполнимости является <math>{\cal NP}</math>- полной. | ||
Ситуация изменяется при <math>k=3</math>, поскольку задача о | |||
3-выполнимости является <math>{\cal NP}</math>- полной. | |||
См. также ''Задача о вершинном покрытии, Задача о клике, Задача о неэквивалентности регулярных выражений, Задача о разбиении, Задача о точном покрытии 3- | ==См. также== | ||
''[[Задача о вершинном покрытии]], [[Задача о клике]], [[Задача о неэквивалентности регулярных выражений]], [[Задача о разбиении]], [[Задача о точном покрытии 3-множествами]], [[Задача о трехмерном сочетании]], [[Классы P и NP|Классы <math>\mathcal P</math> и <math>\mathcal NP</math>]], [[Метод локальной замены]], [[Метод построения компонент]], [[Метод сужения задачи]], [[Полиномиальная сводимость (трансформируемость)]], [[NP-Полная задача|<math>\mathcal NP</math>-полная задача]], [[Труднорешаемая задача]].'' | |||
==Литература== | ==Литература== | ||
[Ахо-Хопкрофт-Ульман], | [Ахо-Хопкрофт-Ульман], | ||
[Касьянов/95] | [Касьянов/95] | ||
Версия от 17:07, 20 октября 2009
Задача о выполнимости (Satisfiability problem) - одна из основных [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math]-полных задач. Формулируется следующим образом.
У с л о в и е. Задано множество булевых переменных [math]\displaystyle{ V }[/math] и правильно построенное булево выражение [math]\displaystyle{ E }[/math] над [math]\displaystyle{ V }[/math].
В о п р о с. Существует ли набор значений переменных множества [math]\displaystyle{ V }[/math], при котором выражение [math]\displaystyle{ E }[/math] выполнено, т.е. принимает значение "истина"?
Можно показать, что даже при более жестких ограничениях на вид формулы задача выполнимости булевых формул также [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полна.
Булева формула находится в конъюнктивной нормальной форме\linebreak (КНФ), если она представляет собой произведение сумм литералов, где каждый литерал имеет вид [math]\displaystyle{ x }[/math] или [math]\displaystyle{ \lnot x }[/math] для некоторой переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Задача выполнимости формул, находящихся в КНФ, [math]\displaystyle{ {\mathcal NP} }[/math]-полна.
Говорят, что булева формула находится в [math]\displaystyle{ k }[/math]-конъюнктивной нормальной форме ([math]\displaystyle{ k }[/math]-КНФ), если она представляет собой произведение сумм, состоящих не более чем из [math]\displaystyle{ k }[/math] литералов. Задача [math]\displaystyle{ k }[/math]-выполнимости ([math]\displaystyle{ k }[/math]-ВЫП) состоит в выяснении выполнимости формулы, находящейся в [math]\displaystyle{ k }[/math]-КНФ.
Для [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] и 2 известны полиномиальные алгоритмы, проверяющие [math]\displaystyle{ k }[/math]-выполнимость, т.е. 1-ВЫП, 2-ВЫП [math]\displaystyle{ \in \mathcal NP }[/math]. Ситуация изменяется при [math]\displaystyle{ k=3 }[/math], поскольку задача о 3-выполнимости является [math]\displaystyle{ {\cal NP} }[/math]- полной.
См. также
Задача о вершинном покрытии, Задача о клике, Задача о неэквивалентности регулярных выражений, Задача о разбиении, Задача о точном покрытии 3-множествами, Задача о трехмерном сочетании, Классы [math]\displaystyle{ \mathcal P }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math], Метод локальной замены, Метод построения компонент, Метод сужения задачи, Полиномиальная сводимость (трансформируемость), [math]\displaystyle{ \mathcal NP }[/math]-полная задача, Труднорешаемая задача.
Литература
[Ахо-Хопкрофт-Ульман],
[Касьянов/95]