Граф перестановки

Граф перестановки (Permutation graph) — пусть [math]\displaystyle{ \pi = (\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, }[/math] [math]\displaystyle{ \pi_{n}) }[/math] — перестановка чисел [math]\displaystyle{ \{1, 2, \ldots, n\} }[/math] и пусть [math]\displaystyle{ \pi_{i}^{-1} }[/math] — позиция [math]\displaystyle{ \pi_{i} }[/math] в последовательности [math]\displaystyle{ \pi = (\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}) }[/math]. Неориентированный граф [math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math] называется графом перестановки, если существует такая перестановка [math]\displaystyle{ \pi }[/math], что [math]\displaystyle{ G \cong G[\pi] }[/math], где [math]\displaystyle{ V(G[\pi]) = \{1,2, \ldots, n\} }[/math] и [math]\displaystyle{ E(G[\pi]) = \{(i,j) \, | \, (i-j)(\pi_{i}^{-1} - \pi_{j}^{-1}) \lt 0\} }[/math]. Пнуэли (Pnueli), Лемпел (Lempel) и Эвен (Even) в 1971 г. доказали критерий: [math]\displaystyle{ G }[/math] — граф перестановки тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ \bar{G} }[/math] — графы сравнимости.

Граф перестановки [math]\displaystyle{ G \cong G[(\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n})] }[/math] имеет дополнение [math]\displaystyle{ \bar{G} }[/math] которое также является графом перестановки

[math]\displaystyle{ \bar{G} \cong G[(\pi_{n}, \pi_{n-1}, \ldots, \pi_{2}, \pi_{1})]. }[/math]

Литература

• Golumbic M.C. Algorithmic graph theory and perfect graphs. — New York: Academic Press, 1980.