4666
правок
Максимальная выполнимость формул в 2-КНФ: различия между версиями
Материал из WEGA
Максимальная выполнимость формул в 2-КНФ (посмотреть исходный код)
Версия от 05:58, 3 апреля 2025
, 3 апрель→Основные результаты
Irina (обсуждение | вклад) |
Irina (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 90: | Строка 90: | ||
'''Теорема 3. Задача MAX TRIANGLE может быть решена за время <math>O(W \; n^{\omega} \; log \; n)</math> для графов с весами из <math>\Z [-W, W]</math>.''' | '''Теорема 3. Задача MAX TRIANGLE может быть решена за время <math>O(W \; n^{\omega} \; log \; n)</math> для графов с весами из <math>\Z [-W, W]</math>.''' | ||
Доказательство. Сначала | Доказательство. Сначала продемонстрируем, что весовая функция на вершинах и ребрах может быть преобразована в эквивалентную весовую функцию с весами только на ребрах. Пусть w – весовая функция над G. Переопределим веса следующим образом: | ||
<math>w'( \{ u, v \}) = \frac{w(u) + w(v)}{2} + w( \{u, v \}), w'(u) = 0</math>. | <math>w'( \{ u, v \}) = \frac{w(u) + w(v)}{2} + w( \{u, v \}), w'(u) = 0</math>. | ||
| Строка 97: | Строка 97: | ||
Следующим шагом будет использование быстрого произведения расстояний для поиска треугольника с максимальным весом в реберно-взвешенном графе с n вершинами. | Следующим шагом будет использование быстрого произведения расстояний для поиска треугольника с максимальным весом в реберно-взвешенном графе с n вершинами. Представим множество вершин графа G в виде множества {1, ..., n}. Определим A как матрицу размера n x n, такую, что A[i, j] = - w({i, j}), если существует ребро {i, j}, и A[i, j] = <math>\infty</math> в противном случае. Утверждение заключается в том, что треугольник с вершиной i и с весом не менее K существует тогда и только тогда, когда <math>(A \otimes_d A \otimes_d A) [i, j] \le -K</math>. Это объясняется тем, что данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда существуют отличные друг от друга j и k, такие, что {i, j}, {j, k}, {k, i} – ребра, и | ||
A[i, j] + A[j, k] + A[k, i] <math>\le</math> -K, то есть w({i, j}) + w({j, k}) + w({k, i}) <math>\ge</math> K. | |||
Поэтому, найдя i, такой, что <math>(A \otimes_d | |||
Поэтому, найдя i, такой, что <math>(A \otimes_d A \otimes_d A) [i, j]</math> минимизировано, мы получим вершину i, содержащуюся в максимальном треугольнике. Для получения фактического треугольника следует проверить все m ребер {j, k} на предмет того, является ли {i, j, k} треугольником. □ | |||
