Эффективные методы множественного выравнивания последовательностей с гарантированными границами ошибок

Ключевые слова и синонимы

Выравнивание нескольких строк; глобальная задача выравнивания нескольких строк

Постановка задачи

Множественное выравнивание последовательностей является важной задачей вычислительной биологии. Она применяется в таких областях, как поиск высококонсервативных субрегионов в заданном наборе биологических последовательностей и вывод истории эволюции набора таксонов на основе связанных с ними биологических последовательностей (см., например, [6]). Был предложен ряд мер для оценки качества множественного выравнивания, однако до выхода работы Гасфилда ни для одной из этих мер не было известно эффективных методов вычисления оптимального выравнивания. В работе Гасфилда [5] приведены два вычислительно эффективных алгоритма аппроксимации множественного выравнивания для двух мер с коэффициентом аппроксимации менее 2. Для одной из мер также получен рандомизированный алгоритм, который работает значительно быстрее и с высокой вероятностью выдает множественное выравнивание с малыми границами ошибки. В данной работе впервые были представлены аппроксимационные алгоритмы (с гарантированными границами ошибок) для этой задачи.

Нотация и определения

Пусть X и Y – две строки алфавита [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]. Парное выравнивание строк X и Y отображает X, Y на строки X', Y', которые могут содержать пробелы обозначаемые '_', таким образом, что выполняется следующее: (1) |X'| = |Y'| = [math]\displaystyle{ \ell }[/math]; (2) удаление пробелов из X' и Y' превращает их в X и Y, соответственно. Оценка выравнивания определяется как [math]\displaystyle{ d(X', Y') = \sum_{i = 1}^{\ell} s(X'(i), Y'(i)) }[/math], где X'(i) (и Y'(i)) обозначает i-й символ в X' (и Y'), а s(a, b) при [math]\displaystyle{ a, b \in \Sigma \cup }[/math]'_' – схема оценки на основе расстояния, удовлетворяющая следующим предположениям.

1. s('_', '_') = 0;

2. неравенство треугольника: для любых трех символов, x, y, z выполняется соотношение s(x, z) [math]\displaystyle{ \le }[/math] s(x, y) + s(y, z).

Обозначим за [math]\displaystyle{ \chi = X_1, X_2, ..., X_k }[/math] множество k > 2 строк алфавита [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]. Множественное выравнивание A этих k строк отображает [math]\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_k }[/math] на [math]\displaystyle{ = X'_1, X'_2, ..., X'_k }[/math], которые могут содержать пробелы таким образом, что выполняется следующее:

(1) [math]\displaystyle{ |X'_1| = |X'_2| = |X'_k| = \ell }[/math];

(2) удаление пробелов из элемента [math]\displaystyle{ X'_i }[/math] превращает его в [math]\displaystyle{ X_i }[/math] для всех [math]\displaystyle{ 1 \le i \le k }[/math]. Множественное выравнивание A может быть представлено в виде матрицы [math]\displaystyle{ k \times \ell }[/math].

Мера «Сумма пар» (SP)

Оценка множественного выравнивания A, обозначаемая SP(A), определяется как сумма оценок парных выравниваний, индуцированных A, т. е. [math]\displaystyle{ \sum_{i \lt j} d(X'_i, X'_j) = \sum_{i \lt j} \sum^{\ell}_{p = 1} s(X'_i[p], X'_j[p]) }[/math], где [math]\displaystyle{ 1 \le i \le j \le k }[/math].

Задача № 1. Множественное выравнивание последовательностей с минимальным значением оценки SP

Дано: набор из k строк, схема оценки s.

Требуется: найти множественное выравнивание A этих k строк с минимальной оценкой SP(A).

Мера «Выравнивание деревьев» (TA)

В данном случае множественное выравнивание выводится из эволюционного дерева. Пусть задан набор [math]\displaystyle{ \chi }[/math] из k строк, [math]\displaystyle{ \chi' \supseteq \chi }[/math]. Эволюционное дерево Tx/ для набора / представляет собой дерево с не менее чем k узлами, в котором существует соответствие один-к-одному между узлами дерева и строками в /'. Пусть Xu 0 /' – строка для узла u. Оценка Tx/, обозначаемая TA(TX/), определяется как ~Y^,e= k, с оценкой, определяемой как Pe=(u;v) d(Xu0;Xv0)(e – ребро в Txr), аналогично множественному выравниванию по мере SP, где оценка является суммированием оценок выравнивания всех пар строк. В рамках меры TA, исходя из того, что всегда можно построить матрицу |/'| x I такую, что d(X0u;Xv0) = D(Xu0;Xv0) для всех e = (u; v) в T%r, а нас обычно интересует нахождение множественного выравнивания с минимальным значением TA, в определении TA{TX<) вместо d(X0u;Xv0) используется D(Xu0;Xv0).

Задача № 2. Множественное выравнивание последовательностей с минимальным значением оценки ТА

Дано: набор из k строк, схема оценки s.

Требуется: найти эволюционное дерево Tx для этих k строк с минимальной оценкой TA(T).

Основные результаты

Теорема 1. Пусть A* – оптимальное множественное выравнивание заданных k строк с минимальной оценкой SP. Предложен алгоритм аппроксимации (метод центральной звезды), который позволяет получить множественное выравнивание A, такое, что:

Метод центральной звезды стремится получить такое выравнивание, которое согласуется с оптимальным парным выравниванием центральной строки со всеми остальными строками. Граница выводится на основе неравенства треугольника оценочной функции. Временная сложность данного метода составляет O(k2t2), где I2 – время решения задачи парного выравнивания методом динамического программирования, а k2 – время поиска центральной строки Xc, дающей минимальное значение

Теорема 2. Пусть A* – оптимальное множественное выравнивание заданных k строк с минимальной оценкой SP. Предложен рандомизированный алгоритм, который позволяет получить выравнивание A, такое, что щ -2+ 7~[ с вероятностью не менее 1 - (Ly-)t для любых r > 1 и p > 1.

Вместо того чтобы вычислять (2) оптимальные парные выравнивания для поиска наилучшей центральной строки, рандомизированный алгоритм рассматривает только p случайно выбранных строк в качестве кандидатов на наилучшую центральную строку, поэтому для работы этого метода необходимо вычислить только (k - 1)p оптимальных парных выравниваний за время O(kpl2), где 1 < p < k.

Теорема 3. Пусть T* - оптимальное эволюционное дерево из заданных k строк с минимальной оценкой TA. Предложен алгоритм аппроксимации, позволяющий получить эволюционное дерево T

В ходе работы алгоритма сначала вычисляются все Q) оптимальных парных выравниваний для построения графа, в котором каждая вершина представляет отдельную строку Xi, а вес каждого ребра (Xi ; Xj) равен D(Xi ; Xj). Этот шаг определяет общую временную сложность O(k2t2). Затем для этого графа вычисляется минимальное остовное дерево. Множественное выравнивание должно быть согласовано с оптимальными парными выравниваниями, представленными ребрами этого минимального остовного дерева.

Применение

Множественное выравнивание последовательностей является фундаментальной задачей вычислительной биологии. В частности, оно полезно для выявления тех общих структур, которые могут быть слабо представлены в последовательности и в силу этого не могут быть легко выявлены при парном выравнивании. Такие общие структуры могут нести важную информацию об их эволюционной истории, критически важных консервативных мотивах, общей трехмерной молекулярной структуре, а также биологических функциях.

В последнее время множественное выравнивание последовательностей используется также для выявления некодирующих РНК (нкРНК) [3]. При этом типе множественного выравнивания мы выравниваем не только базовые последовательности, но и вторичные структуры РНК (см. гл. 16 в [ ] для краткого ознакомления со вторичной структурой РНК). Исследователи считают, что нкРНК, принадлежащие к одному семейству, должны содержать общие компоненты, обеспечивающие сходную вторичную структуру. Множественное выравнивание способно помочь найти и идентифицировать эти общие компоненты.

Открытые вопросы

Остается нерешенным ряд задач, связанных с работой Гасфилда. Для меры SP метод центральной звезды может быть расширен до метода q-звезды (q > 2) с коэффициентом аппроксимации 2 - q/k ([1,7], раздел 7.5 работы [8]). Существует ли алгоритм аппроксимации с лучшим коэффициентом аппроксимации или с меньшей временной сложностью, пока неизвестно. Для меры TA наилучшим результатом на сегодняшний день является отношение аппроксимации в Теореме 3.

Другим интересным направлением, связанным с этой задачей, является задача множественного выравнивания последовательностей с ограничениями [9], в которой требуется, чтобы множественное выравнивание содержало определенные выровненные символы относительно заданной последовательности с ограничениями. Наиболее известным результатом [ ] является аппроксимационный алгоритм (также следующий методу центральной звезды), который позволяет получить выравнивание с коэффициентом аппроксимации 2 - 2/k для k строк.

Что касается сложности, то Ван и Цзян [11] первыми доказали NP-трудность задачи с мерой SP при неметрической мере расстояния над алфавитом из 4 символов. Недавно в работе [4] было доказано, что задача множественного выравнивания с мерой SP, выравниванием по методу звезды и мерой TA является NP-трудной для всех двухсимвольных или больших алфавитов при любой метрике. Разработка эффективных аппроксимационных алгоритмов с хорошими границами для любой из этих мер весьма желательна.

Экспериментальные результаты

В работе приводятся два эксперимента, показывающие, что границы ошибки в теоремах 1 и 2 для меры SP в наихудшем случае являются пессимистичными по сравнению с типичной ситуацией, возникающей на практике.

В экспериментах использовалась следующая схема оценки: s(a; b) = 0, если a = b;s(a; b) = 1, если либо a, либо b – пробел; в противном случае s(a; b) = 2. Поскольку было показано, что вычисление оптимального множественного выравнивания с минимальной оценкой SP является NP-трудной задачей, авторы оценивают эффективность своих алгоритмов, используя нижнюю границу P i < j D(Xi ; Xj) (напомним, что D(Xi;Xj) – это оценка оптимального парного выравнивания Xi и Xj). Было выровнено 19 сходных аминокислотных последовательностей со средней длиной 60 гомеобоксов от разных видов. Отношение оценок, полученных при выравнивании методом центральной звезды, к нижней границе составляет всего 1,018, что далеко от наихудшей границы ошибки, указанной в Теореме 1. Также было проведено выравнивание 10 не очень похожих последовательностей вблизи гомеобоксов, для которых отношение оценок выравнивания к нижней границе составило 1,162. Результаты также показывают, что выравнивание, полученное с помощью рандомизированного алгоритма, обычно не слишком далеко от нижней границы.

См. также

• Статистическое множественное выравнивание

Литература

1. Bafna, V., Lawler, E.L., Pevzner, P.A.: Approximation algorithms for multiple sequence alignment. Theor. Comput. Sci. 182, 233-244(1997)

2. Francis, Y.L., Chin, N.L.H., Lam, T.W., Prudence, W.H.W.: Efficient constrained multiple sequence alignment with performance guarantee. J. Bioinform. Comput. Biol. 3(1), 1 -18 (2005)

3. Dalli, D., Wilm, A., Mainz, I., Stegar, G.: STRAL: progressive alignment of non-coding RNA using base pairing probability vectors in quadratic time. Bioinformatics 22(13), 1593-1599 (2006)

4. Elias, I.: Setting the intractability of multiple alignment. In: Proc. of the 14th Annual International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 2003), 2003, pp. 352-363

5. Gusfield, D.: Efficient methods for multiple sequence alignment with guaranteed error bounds. Bull. Math. Biol. 55(1), 141-154(1993)

6. Pevsner, J.: Bioinformatics and functional genomics. Wiley, New York (2003)

7. Pevzner, P.A.: Multiple alignment, communication cost, and graph matching. SIAM J. Appl. Math. 52,1763-1779 (1992)

8. Pevzner, P.A.: Computational molecular biology: an algorithmic approach. MIT Press, Cambridge, MA (2000)

9. Tang, C.Y., Lu,C.L., Chang, M.D.T.,Tsai,Y.T., Sun,Y.J.,Chao, K.M., Chang, J.M., Chiou, Y.H., Wu, C.M., Chang, H.T., Chou, W.I.: Constrained multiple sequence alignment tool development and its application to RNase family alignment. In: Proc. of the First IEEE Computer Society Bioinformatics Conference (CSB 2002), 2002, pp. 127-137

10. Tompa, M.: Lecture notes. Department of Computer Science & Engineering, University of Washington. http://www.cs.washington.edu/education/courses/527/00wi/. (2000)

11. Wang, L. Jiang, T.: On the complexity of multiple sequence alignment. J. Comp. Biol. 1,337-48 (1994)