Формальный язык

Формальный язык (Formal language) — произвольное множество [math]\displaystyle{ \,L }[/math] цепочек в некотором заданном алфавите [math]\displaystyle{ \,\Sigma, }[/math] т.е. [math]\displaystyle{ L \subseteq \Sigma^* }[/math].

Так как язык — это множество, то операции объединения,пересечения, нахождения разности и дополнения применимы и к языкам. Кроме того, различные операции, определенные для цепочек, применяются и к языкам (например, [math]\displaystyle{ L^R = \{\alpha^R : \alpha \in L\} }[/math]). Среди основных из них — операции конкатенации и итерации.

Язык [math]\displaystyle{ \,L_1 L_2, }[/math] называемый конкатенацией (а также сцеплением или произведением) языков [math]\displaystyle{ \,L_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \,L_2 }[/math], — это язык

[math]\displaystyle{ \{\alpha\beta: \alpha \in L_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta \in L_2\}. }[/math]

Итерация языка [math]\displaystyle{ \,L, }[/math] обозначаемая через [math]\displaystyle{ \,L^*, }[/math] определяется по следующим правилам:

(1) [math]\displaystyle{ \, L^o = \{e\}; }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ \,L^n = LL^{n-1} }[/math] для [math]\displaystyle{ n \geq 1; }[/math]

(3) [math]\displaystyle{ L^* = \bigcup\limits_{n\geq O} L^n. }[/math]

Позитивная итерация языка [math]\displaystyle{ \,L }[/math], обозначаемая через [math]\displaystyle{ \,L^+ }[/math], — это язык [math]\displaystyle{ \bigcup\limits_{n\geq 1} L^n }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ \,L^+=LL^*=L^*L }[/math] и [math]\displaystyle{ \,L^*=L^+\cup\{e\}. }[/math]

Если язык [math]\displaystyle{ \,L }[/math] состоит из небольшого числа цепочек, то самый очевидный способ описания языка — составить список всех цепочек из [math]\displaystyle{ \,L. }[/math] Однако многие языки (например, языки программирования) невозможно или нежелательно задавать исчерпывающим перечислением входящих в них цепочек, и поэтому, как правило, используются другие способы определения языка. Причем используются только такие способы, которые позволяют описанию языка быть обозримым (заведомо конечным), хотя описываемый язык может быть и бесконечным. Известно несколько методов определения языка, удовлетворяющих этому требованию.

Один из них связан со способом задания множества с помощью характеристического свойства (предиката) и состоит в использовании частичного алгоритма (предписания производить некоторые действия), который для произвольной входной цепочки остановится и ответит "да" после конечного числа шагов, если эта цепочка принадлежит языку. Схематизированные устройства, используемые для представления таких алгоритмов, получили название распознавателей. Примерами распознавателей являются конечные автоматы, автоматы с магазинной памятью и машины Тьюринга.

Второй метод описания языка имеет вид исчисления, называемого грамматикой, — некоторой порождающей системы (разрешения производить некоторые действия), используя которую можно получить (породить) все цепочки языка [math]\displaystyle{ \,L }[/math] и только их. Одно из преимуществ определения языка с помощью грамматики состоит в том, что грамматика придает цепочкам ("предложениям") языка полезную структуру, которая может использоваться, например, для придания смысла предложениям языка.

Язык [math]\displaystyle{ \,L }[/math] называется автоматным, праволинейным, регулярным, контекстно-свободным, контекстно-зависимым и т.д., если существует грамматика [math]\displaystyle{ \,G }[/math] соответствующего типа, которая порождает этот язык, т.е. для которой [math]\displaystyle{ \,L(G)=L }[/math].

Литература

• Ахо А., Ульман Дж. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции. — М.: Мир, 1978. — Т. 1,2.

• Бауэр Ф.Л., Гооз Г. Информатика. — М: Мир, 1990. — Т. 1,2.

• Касьянов В.Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложности вычислений. — Новосибирск: НГУ, 1995.

• Касьянов В.Н., Поттосин И.В. Методы построения трансляторов. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1986..