Произведение графов

Произведение графов (Product of graphs) - для данных графов [math]\displaystyle{ G_{1} = (V_{1}, E_{1}) }[/math] и [math]\displaystyle{ G_{2} = (V_{2}, E_{2}) }[/math] произведением называется граф [math]\displaystyle{ G = (V,E) }[/math], вершины которого [math]\displaystyle{ V(G) = V_{1} \times V_{2} }[/math]--- декартово произведение множеств вершин исходных графов.

Декартово произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \Box G_{2} }[/math]содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Box G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ x^{2} = y^{2} }[/math]или [math]\displaystyle{ x^{1} = y^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}. }[/math]

Прямое (тензорное) произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \times G_{2} }[/math] содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \times G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E^{2}. }[/math]

Сильное произведение [math]\displaystyle{ G = G_{1} \otimes G_{2} }[/math]содержит все ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \otimes G_{2}), }[/math]

которые есть и в декартовом, и в тензорном произведениях.

Композиция [math]\displaystyle{ G_{1}[G_{2}] }[/math]графов содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1}[G_{2}]) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]или [math]\displaystyle{ x^{1} = y^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}. }[/math] %На рис. 1 можно видеть примеры произведений %графов [math]\displaystyle{ G_{1} \Box G_{2}, \; G_{1} \times G_{2}, \; G_{1} \otimes %G_{2}, \; G_{1}[G_{2}] }[/math]для [math]\displaystyle{ G_{1} \cong P_{2} }[/math]и [math]\displaystyle{ G_{2} \cong P_{3} }[/math] %

Модульное произведение [math]\displaystyle{ G_{1} \diamondsuit G_{2} }[/math]содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \diamondsuit G_{2}) }[/math] тогда и

только тогда, когда [math]\displaystyle{ x^{1} \neq y^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ x^{2} \neq y^{2} }[/math]и либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}, }[/math]либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \not \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \not \in E_{2}. }[/math]

Большое модульное произведение [math]\displaystyle{ G_{1} \Diamond G_{2} }[/math]содержит ребра

[math]\displaystyle{ ((x^{1},x^{2}), (y^{1},y^{2})) \in E(G_{1} \Diamond G_{2}) }[/math]

тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x^{1} \neq y^{1} }[/math] [math]\displaystyle{ x^{2} \neq y^{2} }[/math]и либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \in E_{1} }[/math]и [math]\displaystyle{ (x^{2},y^{2}) \in E_{2}, }[/math]либо [math]\displaystyle{ (x^{1},y^{1}) \not \in E_{1}. }[/math] % %На рис.2 можно увидеть примеры произведений графов [math]\displaystyle{ G_{1} \diamondsuit %G_{2} }[/math]и [math]\displaystyle{ G_{1} \Diamond G_{2} }[/math]для [math]\displaystyle{ G_{1} \cong P_{3} }[/math]и [math]\displaystyle{ G_{2} = %\bar{P}_{3} }[/math].

См. также Декартово произведение графов.

Литература

[Berge],

[Берж],

[Оре],

[Харари],

[Лекции],

[Bondy-Murty]