Независимые множества матроида: различия между версиями

Материал из WEGA
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Создана новая страница размером '''Независимые множества матроида''' (''Independent sets of a matroid'') - семейство <math>{\cal I}<...)
 
Нет описания правки
Строка 1: Строка 1:
'''Независимые множества матроида''' (''Independent sets of a matroid'') -  
'''Независимые множества матроида''' (''[[Independent sets of a matroid]]'') -  
семейство <math>{\cal I}</math> подмножеств элементов из <math>E</math>, удовлетворяющих
семейство <math>{\mathcal I}</math> подмножеств элементов из <math>E</math>, удовлетворяющих
следующим аксиомам:
следующим аксиомам:


(I0) <math>\emptyset \in {\cal I}</math>;
(I0) <math>\emptyset \in {\mathcal I}</math>;


(I1) если <math>X \in {\cal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\cal I}</math>;
(I1) если <math>X \in {\mathcal I}</math> и <math>Y \subseteq X</math>, то <math>Y \in {\mathcal I}</math>;


(I2) если <math>X, \, Y</math> --- элементы из <math>{\cal I}</math> такие, что <math>|X| = |Y| +
(I2) если <math>X, \, Y</math> --- элементы из <math>{\mathcal I}</math> такие, что <math>|X| = |Y| +
1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in
1</math>, то существует <math>x \in X \setminus Y</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in
{\cal I}</math>.
{\mathcal I}</math>.


Подмножество из <math>E</math>, не принадлежащее <math>{\cal I}</math>, называется {\it
Подмножество из <math>E</math>, не принадлежащее <math>{\mathcal I}</math>, называется {\it
зависимым}.
зависимым}.


Строка 18: Строка 18:
эквивалентные (I2):
эквивалентные (I2):


(I'2) Если <math>X, Y \in {\cal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math>
(I'2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X \setminus Y</math>
существует элемент <math>x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\cal I}</math>.
существует элемент <math>x</math> такой, что <math>Y \cup \{x\} \in {\mathcal I}</math>.


(I''2) Если <math>X, Y \in {\cal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X</math> существует
(I"2) Если <math>X, Y \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y| < |X|</math>, то в <math>X</math> существует
такое подмножество <math>Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\cal I}</math> и <math>|Y \cup Z| =
такое подмножество <math>Z</math>, что <math>Y \cup Z \in {\mathcal I}</math> и <math>|Y \cup Z| =
|X|</math>.
|X|</math>.
==Литература==
==Литература==

Версия от 17:11, 24 ноября 2009

Независимые множества матроида (Independent sets of a matroid) - семейство [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] подмножеств элементов из [math]\displaystyle{ E }[/math], удовлетворяющих следующим аксиомам:

(I0) [math]\displaystyle{ \emptyset \in {\mathcal I} }[/math];

(I1) если [math]\displaystyle{ X \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math], то [math]\displaystyle{ Y \in {\mathcal I} }[/math];

(I2) если [math]\displaystyle{ X, \, Y }[/math] --- элементы из [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ |X| = |Y| + 1 }[/math], то существует [math]\displaystyle{ x \in X \setminus Y }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].

Подмножество из [math]\displaystyle{ E }[/math], не принадлежащее [math]\displaystyle{ {\mathcal I} }[/math], называется {\it зависимым}.

Так как (I0) следует из (I1), то в качестве системы аксиом можно взять (I1) (I2). Кроме того, существуют варианты аксиомы (I'2), (I2), эквивалентные (I2):

(I'2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ X \setminus Y }[/math] существует элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Y \cup \{x\} \in {\mathcal I} }[/math].

(I"2) Если [math]\displaystyle{ X, Y \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y| \lt |X| }[/math], то в [math]\displaystyle{ X }[/math] существует такое подмножество [math]\displaystyle{ Z }[/math], что [math]\displaystyle{ Y \cup Z \in {\mathcal I} }[/math] и [math]\displaystyle{ |Y \cup Z| = |X| }[/math].

Литература

[Лекции],

[Welsh]