Формальный язык

Формальный язык (Formal language) - произвольное множество [math]\displaystyle{ L }[/math] цепочек в некотором заданном алфавите [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], т.е. [math]\displaystyle{ L \subseteq \Sigma^* }[/math].

Так как язык --- это множество, то операции объединения,пересечения, нахождения разности и дополнения применимы и к языкам. Кроме того, различные операции, определенные для цепочек, применяются и к языкам (например, [math]\displaystyle{ L^R = \{\alpha^R : \alpha \in L\} }[/math]). Среди основных из них --- операции конкатенации и итерации.

Язык [math]\displaystyle{ L_1 L_2 }[/math], называемый конкатенацией (а также сцеплением или произведением) языков [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], --- это язык [math]\displaystyle{ \{\alpha\beta: \alpha \in L_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta \in L_2\}. }[/math]

Итерация языка [math]\displaystyle{ L }[/math], обозначаемая через [math]\displaystyle{ L^* }[/math], определяется по следующим правилам:

(1) [math]\displaystyle{ L^o = \{e\} }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ L^n = LL^{n-1} }[/math] для [math]\displaystyle{ n \geq 1 }[/math] ;

(3) [math]\displaystyle{ L^* = \bigcup\limits_{n\geq O} L^n }[/math] .

Позитивная итерация языка [math]\displaystyle{ L }[/math], обозначаемая через [math]\displaystyle{ L^+ }[/math] , --- это язык [math]\displaystyle{ \bigcup\limits_{n\geq 1} L^n }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ L^+=LL^*=L^*L }[/math] и [math]\displaystyle{ L^*=L^+\cup\{e\}. }[/math]

Если язык [math]\displaystyle{ L }[/math] состоит из небольшого числа цепочек, то самый очевидный способ описания языка --- составить список всех цепочек из [math]\displaystyle{ L }[/math]. Однако многие языки (например, языки программирования) невозможно или нежелательно задавать исчерпывающим перечислением входящих в них цепочек, и поэтому, как правило, используются другие способы определения языка. Причем используются только такие способы, которые позволяют описанию языка быть обозримым (заведомо конечным), хотя описываемый язык может быть и бесконечным. Известно несколько методов определения языка, удовлетворяющих этому требованию.

Один из них связан со способом задания множества с помощью характеристического свойства (предиката) и состоит в использовании частичного алгоритма (предписания производить некоторые действия), который для произвольной входной цепочки остановится и ответит "да" после конечного числа шагов, если эта цепочка принадлежит языку. Схематизированные устройства, используемые для представления таких алгоритмов, получили название распознавателей. Примерами распознавателей являются конечные автоматы, автоматы с магазинной памятью и машины Тьюринга.

Второй метод описания языка имеет вид исчисления, называемого грамматикой, --- некоторой порождающей системы (разрешения производить некоторые действия), используя которую можно получить (породить) все цепочки языка [math]\displaystyle{ L }[/math] и только их. Одно из преимуществ определения языка с помощью грамматики состоит в том, что грамматика придает цепочкам ("предложениям") языка полезную структуру, которая может использоваться, например, для придания смысла предложениям языка.

Язык [math]\displaystyle{ L }[/math] называется автоматным, праволинейным, регулярным, контекстно-свободным, контекстно-зависимым и т.д., если существует грамматика [math]\displaystyle{ G }[/math] соответствующего типа, которая порождает этот язык, т.е. для которой [math]\displaystyle{ L(G)=L }[/math].

Литература

[Ахо-Ульман],

[Бауэр-Гооз],

[Касьянов/95],

[Касьянов-Поттосин]