Аноним

Алгоритмическое охлаждение: различия между версиями

Материал из WEGA

Алгоритмическое охлаждение (посмотреть исходный код)

Версия от 05:02, 7 декабря 2024

229 байт добавлено ,  7 декабря 2024
→‎Литература
 
(не показаны 4 промежуточные версии 1 участника)
Строка 106: Строка 106:
Мор и Вайнштейн обобщили этот анализ и обнаружили, что n - 1 вычислительных спинов и один сбрасывающий спин могут быть охлаждены (приблизительно) до смещений в соответствии с рядом Фибоначчи: {... 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1}. Вычислительный спин, наиболее удаленный от сбрасывающего спина, может быть охлажден до соответствующего числа Фибоначчи <math>F_n</math>. Это приближение справедливо до тех пор, пока наибольший член, кратный <math>\epsilon</math>, все еще намного меньше 1. Затем Шульман предложил «алгоритм сопряжения партнеров» (PPA) и доказал оптимальность PPA среди всех ''классических и квантовых'' алгоритмов. Эти два алгоритма, Фибоначчи-охлаждение и PPA, стали основной для двух совместных работ [11, 12], где также были получены верхние и нижние границы для алгоритмического охлаждения. Алгоритм сопряжения партнеров. определяется следующим образом. Повторяйте эти два шага, пока охлаждение не будет достаточно близким к пределу: (а) RESET – применяется к сбрасывающему спину в системе, содержащей n - 1 вычислительных спинов и один (представляющий наименьший значащий бит) сбрасывающий. (b) SORT – перестановка, сортирующая <math>2^n</math> диагональных элементов матрицы плотности по убыванию, так что спин с наибольшим значащим битом становится самым холодным. В работе [12] доказаны две важные теоремы:  
Мор и Вайнштейн обобщили этот анализ и обнаружили, что n - 1 вычислительных спинов и один сбрасывающий спин могут быть охлаждены (приблизительно) до смещений в соответствии с рядом Фибоначчи: {... 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1}. Вычислительный спин, наиболее удаленный от сбрасывающего спина, может быть охлажден до соответствующего числа Фибоначчи <math>F_n</math>. Это приближение справедливо до тех пор, пока наибольший член, кратный <math>\epsilon</math>, все еще намного меньше 1. Затем Шульман предложил «алгоритм сопряжения партнеров» (PPA) и доказал оптимальность PPA среди всех ''классических и квантовых'' алгоритмов. Эти два алгоритма, Фибоначчи-охлаждение и PPA, стали основной для двух совместных работ [11, 12], где также были получены верхние и нижние границы для алгоритмического охлаждения. Алгоритм сопряжения партнеров. определяется следующим образом. Повторяйте эти два шага, пока охлаждение не будет достаточно близким к пределу: (а) RESET – применяется к сбрасывающему спину в системе, содержащей n - 1 вычислительных спинов и один (представляющий наименьший значащий бит) сбрасывающий. (b) SORT – перестановка, сортирующая <math>2^n</math> диагональных элементов матрицы плотности по убыванию, так что спин с наибольшим значащим битом становится самым холодным. В работе [12] доказаны две важные теоремы:  


Теорема 1 (нижняя граница). Когда <math>\epsilon^2 \gg 1</math> (а именно, для достаточно длинных молекул), теорема 3 из [12] гарантирует, что может быть извлечено <math>n - log(1/ \epsilon)</math> холодных кубитов. Этот случай актуален для масштабируемых квантовых вычислений на базе ЯМР.  
'''Теорема 1 (нижняя граница)'''. Когда <math>\epsilon^2 \gg 1</math> (а именно, для достаточно длинных молекул), теорема 3 из [12] гарантирует, что может быть извлечено <math>n - log(1/ \epsilon)</math> холодных кубитов. Этот случай актуален для масштабируемых квантовых вычислений на базе ЯМР.  


Теорема 2 (верхняя граница). В разделе 4.2 работы [12] доказывается следующая теорема: Ни один алгоритмический метод охлаждения не может увеличить вероятность любого базисного состояния выше <math>min \{ 2^{-n} e^{2^n \epsilon}, 1 \}</math>, если начальная конфигурация представляет собой полностью смешанное состояние (то же самое верно, если начальное состояние представляет собой тепловое состояние).
'''Теорема 2 (верхняя граница)'''. В разделе 4.2 работы [12] доказывается следующая теорема: Ни один алгоритмический метод охлаждения не может увеличить вероятность любого базисного состояния выше <math>min \{ 2^{-n} e^{2^n \epsilon}, 1 \}</math>, если начальная конфигурация представляет собой полностью смешанное состояние (то же самое верно, если начальное состояние представляет собой тепловое состояние).




Впоследствии Элиас, Фернандес, Мор и Вайнштейн [6] более тщательно проанализировали случай n < 15 (при комнатной температуре), когда самый холодный спин (на всех стадиях) все еще имеет поляризационное смещение намного меньше 1. Этот случай наиболее актуален для применения в ЯМР-спектроскопии. Они обобщили принцип Фибоначчи-охлаждения на алгоритмы, дающие более сложные ряды Фибоначчи, такие как трибоначчи (также известный как 3-кратный ряд Фибоначчи), {... 81, 44, 24, 13, 7, 4, 2, 1, 1} и т. д. Конечный предел этих многочленных рядов Фибоначчи имеет место, когда каждый член ряда равен сумме всех предыдущих. Полученный ряд в точности является экспоненциальным {... 128, 64, 32,16, 8, 4, 2, 1, 1}, так что самый холодный спин охлаждается в <math>2^{n - 2}</math> раз. Более того, анализ упомянутого выше верхнего предела (раздел 4.2 в [12]), показывает, что ни один спин не может быть охлажден больше, чем в <math>2^{n - 1}</math> раз; см. следствие 1 в [6].
Впоследствии Элиас, Фернандес, Мор и Вайнштейн [6] более тщательно проанализировали случай n < 15 (при комнатной температуре), когда самый холодный спин (на всех стадиях) все еще имеет поляризационное смещение намного меньше 1. Этот случай наиболее актуален для применения в ЯМР-спектроскопии. Они обобщили принцип Фибоначчи-охлаждения на алгоритмы, дающие ряды Фибоначчи более высокого порядка, такие как трибоначчи (также известный как 3-кратный ряд Фибоначчи), {... 81, 44, 24, 13, 7, 4, 2, 1, 1} и т. д. Конечный предел этих многочленных рядов Фибоначчи имеет место, когда каждый член ряда равен сумме всех предыдущих. Полученный ряд в точности является экспоненциальным {... 128, 64, 32,16, 8, 4, 2, 1, 1}, так что самый холодный спин охлаждается в <math>2^{n - 2}</math> раз. Более того, анализ высшего порядка вышеупомянутого верхнего предела (раздел 4.2 в [12]), показывает, что ни один спин не может быть охлажден больше, чем в <math>2^{n - 1}</math> раз; см. следствие 1 в [6].


== Применение ==
== Применение ==
Два основных применения для далекого и близкого будущего уже упомянуты в разделе «Постановка задачи». Здесь важно добавить, что хотя конкретные алгоритмы, проанализированные до сих пор, обычно являются классическими, практическая реализация алгоритмического охлаждения на ЯМР-спектрометре должна быть осуществлена путем анализа универсальных квантовых вычислений с использованием специфических вентилей, допустимых в таких системах. Таким образом, алгоритмическое охлаждение может стать первым ближайшим механизмом применения квантовых вычислительных устройств.
Два основных направления применения для отдаленного и близкого будущего уже упомянуты в разделе «Постановка задачи». Здесь важно добавить, что хотя конкретные алгоритмы, проанализированные до сих пор, обычно являются классическими, практическая реализация алгоритмического охлаждения на ЯМР-спектрометре должна быть осуществлена путем анализа универсальных квантовых вычислений с использованием определенных вентилей, допустимых в таких системах. Таким образом, алгоритмическое охлаждение может стать первым ближайшим механизмом применения квантовых вычислительных устройств.




Строка 120: Строка 120:


== Открытые вопросы ==
== Открытые вопросы ==
Основная открытая проблема практического применения алгоритмического охлаждения лежит в технологической области: можно ли увеличить соотношение времен релаксации, что позволит применять много ступеней охлаждения для соответствующих ЯМР-систем? Другие методы, например механизм спиновой диффузии [1], также могут быть полезны для различных сфер применения.
Основная открытая проблема практического применения алгоритмического охлаждения лежит в технологической области: можно ли увеличить соотношение времен релаксации таким образом, чтобы можно было применять много ступеней охлаждения для соответствующих ЯМР-систем? Другие методы, например механизм спиновой диффузии [1], также могут быть полезны для различных сфер применения.




Строка 127: Строка 127:
== Экспериментальные результаты ==
== Экспериментальные результаты ==


Различные идеи алгоритмического охлаждения уже привели к нескольким экспериментам с использованием 3-4-кубитных квантовых вычислительных устройств: 1. Эксперимент [4], в котором был реализован один проход обратимого поляризационного сжатия. 2. Эксперимент [ ], в котором были обойдены границы сохранения энтропии (действующие в любой замкнутой системе). 3. Полномасштабный эксперимент с алгоритмическим охлаждением [1], в котором три ядра углерода инициализируются смещением спина водорода, а затем выполняется один шаг сжатия этих трех ядер углерода.
Различные идеи алгоритмического охлаждения уже привели к нескольким экспериментам с использованием 3-4-кубитных квантовых вычислительных устройств:  
 
1. Эксперимент [4], в котором был реализован один проход обратимого поляризационного сжатия.  
 
2. Эксперимент [3], в котором были обойдены границы сохранения энтропии (действующие в любой замкнутой системе).  
 
3. Полномасштабный эксперимент с алгоритмическим охлаждением [1], в котором три ядра углерода инициализируются смещением спина водорода, а затем выполняется один шаг сжатия этих трех ядер углерода.


== См. также ==
== См. также ==
Строка 164: Строка 170:


14. Sarensen, O.W.: Polarization transfer experiments in high-resolution NMR spectroscopy. Prog. Nuc. Mag. Res. Spect. 21, 503-569(1989)
14. Sarensen, O.W.: Polarization transfer experiments in high-resolution NMR spectroscopy. Prog. Nuc. Mag. Res. Spect. 21, 503-569(1989)
[[Категория: Совместное определение связанных терминов]]
Источник — http://pco.iis.nsk.su/wega/index.php/Служебная:Сравнение_версий/15399...15822