Согласование множеств

Ключевые слова и синонимы

Распределенная координация

Постановка задачи

Краткая история вопроса

Задача согласования k множеств относится к классу задач о координации. Она определяется в форме систем процессов, склонных к сбоям, и представляет собой простое обобщение задачи о консенсусе (которая соответствует случаю k = 1). Эта задача была предложена в 1993 году Сомой Чаудхури [2] для изучения связи между числом вариантов выбора (k), допустимых для процессов, и максимальным числом процессов, которые могут прийти к аварийному завершению. (После аварийного завершения процесс больше не выполняет никаких действий; оно представляет собой преждевременную остановку).

Определение

Пусть S – система, состоящая из n процессов, в которой до t процессов могут завершиться аварийно и в которой каждый процесс имеет входное значение (называемое предлагаемым значением). Задача определяется тремя следующими свойствами (т. е. любой алгоритм, решающий эту задачу, должен удовлетворять данным трем свойствам):

1. Завершение. Каждый процесс без сбоев вычисляет значение.

2. Достоверность. Вычисленное значение является предлагаемым значением.

3. Согласование. Вычисляется не более k различных значений.

Тривиальный случай

Легко заметить, что эта задача может быть решена тривиально, если верхняя граница числа сбоев процессов (t) меньше допустимого числа вариантов k, также называемого степенью координации. (Тривиальное решение заключается в наличии t + 1 заранее определенных процессов, которые отправляют свои предлагаемые значения всем процессам, и процесс вычисляет первое значение, которое он получает). Таким образом, в дальнейшем неявно предполагается [math]\displaystyle{ k \le t }[/math].

Основные результаты

Основные результаты в синхронных системах

Синхронная модель

В этой модели вычислений каждое выполнение представляет собой последовательность раундов. Они обозначаются последовательными целыми числами – 1, 2 и т. д. Для процесса номер текущего раунда представлен в виде глобальной переменной, глобальное увеличение которой влечет за собой его собственный локальный прогресс.

В ходе одного раунда процесс сначала передает сообщение, затем получает сообщения и, наконец, выполняет локальные вычисления. Фундаментальное свойство синхронности, присущее синхронной системе, заключается в следующем: сообщение, отправленное в раунде r, принимается процессом-получателем в том же раунде r. Если в текущем раунде процесс при отправке сообщения приходит к аварийному завершению, то это сообщение получает произвольное (не известное заранее) подмножество процессов.

Основные результаты

Задача согласования k множеств всегда может быть решена в синхронной системе. Основной результат заключается в определении минимального числа раундов ([math]\displaystyle{ R_t }[/math]), которое требуется безошибочным процессам для вычислений в наихудшем сценарии (такой сценарий имеет место, когда в каждом раунде ровно k процессов приходят к аварийному завершению). В работе [3] было показано, что [math]\displaystyle{ R_t = \lfloor \frac{t}{k} \rfloor + 1 }[/math]. Очень простой алгоритм, реализующий эту нижнюю границу, изображен на рис. 1.

    Function k-set_agreement([math]\displaystyle{ v_i }[/math])
(1) [math]\displaystyle{ est_i \gets v_i; }[/math]
(2) when [math]\displaystyle{ r = 1, 2, ..., \lfloor \frac{t}{k} \rfloor + 1 }[/math] do % r: номер раунда %
(3) begin_round
(4)      отправить [math]\displaystyle{ (est_i) }[/math] всем; % включая само [math]\displaystyle{ p_i }[/math] %
(5)      [math]\displaystyle{ est_i \gets min( \{  }[/math] значения [math]\displaystyle{ (est_j) }[/math], принятые в ходе текущего раунда r});
(6) end_round;
(7) возврат [math]\displaystyle{ (est_i) }[/math]

Рисунок 1. Простой синхронный алгоритм согласования k множеств (код для [math]\displaystyle{ p_i }[/math])

Сбои случаются, однако на практике они редки. Обозначим за f количество процессов, приходящих к аварийному завершению в данном прогоне алгоритма, [math]\displaystyle{ 0 \le f \le t }[/math]. Нас интересуют синхронные алгоритмы, которые завершаются максимум за [math]\displaystyle{ R_t }[/math] раундов в случае, когда на текущем прогоне аварийно завершаются t процессов, но которые позволяют безошибочным процессам выполнить вычисление за гораздо меньшее число раундов, если сбоев мало. Такие алгоритмы называются алгоритмами с ранним вычислением решений. В [4] было показано, что при наличии f аварийных завершений процессов любой алгоритм согласования k множеств с ранним вычислением решений имеет прогоны, на которых ни один процесс не вычисляет решение до раунда [math]\displaystyle{ R_f = min(\lfloor \frac{f}{k} \rfloor + 2, \lfloor \frac{t}{k} \rfloor + 1) }[/math]. Эта нижняя граница представляет собой неизбежный компромисс, устанавливающий связь между степенью координации k, максимальным количеством сбоев процессов t, фактическим количеством сбоев процессов f и наилучшей достижимой временной сложностью. Алгоритмы согласования k множеств с ранним вычислением решений для синхронной модели можно найти в [4, 12].

Другие модели возникновения сбоев

В модели со сбоем из-за пропуска отправки процесс является сбойным, если он приходит к аварийному завершению или забывает отправить сообщения. В модели со сбоем из-за любого пропуска процесс является сбойным, если он приводит к аварийному завершению или забывает отправить либо получить сообщения. (Сбой из-за пропуска отправки моделирует отказ выходного буфера, а сбой из-за пропуска получения – отказ входного буфера). Эти модели возникновения сбоев были предложены в работе [11].

Понятие сильного завершения для задач о согласовании множеств было введено в [13]. На интуитивном уровне понятно, что это свойство требует, чтобы как можно больше процессов вычислили решение. Назовем хорошим процесс, который не приходит к аварийному завершению и не имеет сбоев из-за пропуска. Алгоритм согласования множеств имеет сильное завершение, если при его выполнении все хорошие процессы обязательно вычисляют решение. (Только те процессы, которые приходят к аварийному завершению во время выполнения алгоритма или не получают достаточно сообщений, могут остаться без вычисленного решения).

Алгоритм согласования k множеств с ранним вычислением решений для модели со сбоем из-за любого пропуска был описан в [13]. Этот алгоритм, которому требуется t < n/2 времени, приводит хороший процесс к вычислению решения и остановке максимум за [math]\displaystyle{ R_f = min(\lfloor \frac{f}{k} \rfloor + 2, \lfloor \frac{t}{k} \rfloor + 1) }[/math] раундов. При этом процесс, который не является хорошим, выполняется не более [math]\displaystyle{ R_f(not good) = min(\lceil \frac{f}{k} \rceil + 2, \lceil \frac{t}{k} \rceil + 1) }[/math] раундов.

Поскольку [math]\displaystyle{ R_f }[/math] является нижней границей для числа раундов в модели сбоев с аварийным завершением, предыдущий алгоритм показывает, что это значение также является нижней границей для вычисления решения безошибочными процессами в более строгой модели со сбоем из-за любого пропуска. Доказательство того, что [math]\displaystyle{ R_f(not good) }[/math] представляет собой верхнюю границу числа раундов, которые должен выполнить процесс, не являющийся хорошим, пока не найдено.

В [13] было показано, что для заданной степени координации k значение [math]\displaystyle{ t \lt \frac{k}{k+1} n }[/math] является верхней границей числа сбоев процессов в случае, когда требуется решить задачу о согласовании k множеств в синхронной системе, подверженной сбоям из-за любого пропуска. Алгоритм согласования k множеств, реализующий эту границу, был описан в работе [13]. Этот алгоритм требует, чтобы процессы выполнили R = t + 2 - k раундов для вычисления решения. Доказательство (или опровержение) того, что R является нижней границей при [math]\displaystyle{ t \lt \frac{k}{k+1} n }[/math], по-прежнему является открытым вопросом. Еще одной нерешенной задачей является разработка алгоритма согласования k множеств с ранним вычислением решений для [math]\displaystyle{ t \lt \frac{k}{k+1} n }[/math] и k > 1.

Основные результаты в асинхронных системах

Невозможность

Фундаментальным результатом распределенных вычислений является невозможность разработки детерминированного алгоритма, решающего задачу согласования k множеств в асинхронных системах в случае [math]\displaystyle{ k \le t }[/math] [1, 7, 15]. В отличие от невозможности решения задачи асинхронного консенсуса, несмотря на аварийное завершение одного процесса, эта невозможность обусловлена углубленными комбинаторными соображениями. Она открыла новые направления в исследовании связи между распределенными вычислениями и топологией. Топологический подход позволил выявить связи, увязывающие асинхронное согласование k множеств с другими задачами распределенных вычислений, такими как задача переименования [5].

Обход невозможности

Было исследовано несколько подходов для обхода упомянутой невозможности; эти подходы аналогичны тем, которые использовались для обхода невозможности асинхронного консенсуса в присутствии аварийных завершений процессов.

Один из подходов заключается в замене детерминированного алгоритма на рандомизированный. В этом случае свойство завершения формулируется следующим образом: «вероятность вычисления решения исправным процессом стремится к 1, когда число раундов стремится к [math]\displaystyle{ + \infty }[/math]». Этот подход рассматривался в работе [9].

Также был предложен другой подход, основанный на детекторах сбоев. Грубо говоря, детектор сбоев предоставляет каждому процессу список процессов, которые предположительно были аварийно завершены. В качестве примера можно привести класс детекторов сбоев, обозначаемый [math]\displaystyle{ \Diamond S_x }[/math], который включает все детекторы сбоев, такие, что через некоторое конечное (но неизвестное) время (1) любой список содержит аварийно завершенные процессы и (2) существует множество Q из x процессов, такое, что Q содержит один исправный процесс, и этот исправный процесс больше не подозревается процессами из Q (заметим, что исправные процессы могут подозреваться периодически или даже всегда). Строгие границы для задачи о согласовании k множеств в асинхронных системах с такими детекторами сбоев, предположенные в [9], были доказаны в [6]. Более точно, такой класс детекторов сбоев позволяет решить задачу согласования k множеств для [math]\displaystyle{ k \ge t - x + 2 }[/math] [9] и не может решить ее при [math]\displaystyle{ k \lt t - x + 2 }[/math] [6].

Еще один исследованный подход включал комбинацию детекторов сбоев и условий [8]. Условие представляет собой набор входных векторов, каждый входной вектор содержит одну запись на процесс. Записи входного вектора, связанного с прогоном, содержат значения, предложенные процессами в этом прогоне. В принципе такой подход гарантирует, что безошибочные процессы всегда вычисляют решение в случаях, когда фактический входной вектор соответствует условию, которым инстанциирован алгоритм согласования k множеств.

Применение

Задача согласования множеств была введена для изучения взаимосвязи между количеством сбоев и степенью синхронизации в асинхронной системе; таким образом, она имеет в основном теоретический характер. Эта задача рассматривается как каноническая, когда речь идет об асинхронной вычислимости при наличии сбоев. Тем не менее, можно представить себе практические задачи, решения которых основаны на задаче согласования множеств (например, распределение небольших совместно используемых ресурсов – таких как частоты вещания – в сети).

См. также

• Невозможность асинхронного консенсуса
• Детекторы сбоев
• Переименование
• Топологический подход в распределенных вычислениях

Литература

1. Borowsky, E., Gafni, E.: Generalized FLP Impossibility Results for t-Resilient Asynchronous Computations. In: Proc. 25th ACM Symposium on Theory of Computation, California, 1993, pp. 91-100

2. Chaudhuri, S.: More Choices Allow More Faults: Set Consensus Problems in Totally Asynchronous Systems. Inf. Comput. 105, 132-158(1993)

3. Chaudhuri, S., Herlihy, M., Lynch, N., Tuttle, M.: Tight Bounds for k-Set Agreement. J. ACM 47(5), 912-943 (2000)

4. Gafni, E., Guerraoui, R., Pochon, B.: From a Static Impossibility to an Adaptive Lower Bound: The Complexity of Early Deciding Set Agreement. In: Proc. 37th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC 2005), pp. 714-722. ACM Press, New York (2005)

5. Gafni, E., Rajsbaum, S., Herlihy, M.: Subconsensus Tasks: Renaming is Weaker than Set Agreement. In: Proc. 20th Int'l Symposium on Distributed Computing (DISC'06). LNCS, vol. 4167, pp. 329-338. Springer, Berlin (2006)

6. Herlihy, M.P., Penso, L.D.: Tight Bounds for k-Set Agreement with Limited Scope Accuracy Failure Detectors. Distrib. Comput. 18(2), 157-166 (2005)

7. Herlihy, M.P., Shavit, N.: The Topological Structure of Asynchronous Computability. J. ACM 46(6), 858-923 (1999)

8. Mostefaoui, A., Rajsbaum, S., Raynal, M.: The Combined Power of Conditions and Failure Detectors to Solve Asynchronous Set Agreement. In: Proc. 24th ACM Symposium on Principles of Distributed Computing (PODC'05), pp. 179-188. ACM Press, New York (2005)

9. Mostefaoui, A., Raynal, M.: k-Set Agreement with Limited Accuracy Failure Detectors. In: Proc. 19th ACM Symposium on Principles of Distributed Computing, pp. 143-152. ACM Press, New York (2000)

10. Mostefaoui, A., Raynal, M.: Randomized Set Agreement. In: Proc. 13th ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA'01), Hersonissos (Crete) pp. 291-297. ACM Press, New York (2001)

11. Perry, K.J., Toueg, S.: Distributed Agreement in the Presence of Processor and Communication Faults. IEEE Trans. Softw. Eng. SE-12(3), 477^82 (1986)

12. Raipin Parvedy, P., Raynal, M., Travers, C.: Early-stopping k-set agreement in synchronous systems prone to any number of process crashes. In: Proc. 8th Int'l Conference on Parallel Computing Technologies (PaCT'05). LNCS, vol. 3606, pp. 49-58. Springer, Berlin (2005)

13. Raipin Parvedy, P., Raynal, M., Travers, C.: Strongly-terminating early-stopping k-set agreement in synchronous systems with general omission failures. In: Proc. 13th Colloquium on Structural Information and Communication Complexity (SIROCCO'06). LNCS, vol. 4056, pp. 182-196. Springer, Berlin (2006)

14. Raynal, M., Travers, C.: Synchronous set agreement: a concise guided tour (including a new algorithm and a list of open problems). In: Proc. 12th Int'l IEEE Pacific Rim Dependable Computing Symposium (PRDC’2006), pp. 267-274. IEEE Society Computer Press, Los Alamitos (2006)

15. Saks, M., Zaharoglou, F.: Wait-Free k-Set Agreement is Impossible: The Topology of Public Knowledge. SI AM J. Comput. 29(5), 1449-1483 (2000)