Локальные аппроксимации задач об упаковке и покрытии: различия между версиями

В работах [3, 4, 5] изучаются алгоритмы локальной аппроксимации для задач о покрытии и упаковке для графов, встречающихся в контексте беспроводных децентрализованных сетей и сетей датчиков. Из-за их масштаба, динамичности и ограниченности ресурсов такие сети представляют собой особенно интересную область для применения локальных распределенных алгоритмов.

'''Теорема 6. На сети BIG можно найти константные аппроксимации для вычисления минимального доминирующего множества, минимального вершинного покрытия, максимального паросочетания, а также для линейных программ (P) и (D) общего вида детерминированным образом за <math>O(log \; \Delta \cdot log^* n)</math> раундов.'''

'''Теорема 7. На полиномиально ограниченной BIG существует локальная схема аппроксимации, которая вычисляет (<math>1 + \varepsilon</math>)-аппроксимацию для поиска минимального доминирующего множества за время <math>O(log \; \Delta \; log^* (n) / \varepsilon + 1 / \varepsilon^{O(1)})</math>. Если сетевой граф является UBG с константной размерностью удвоения и если все узлы знают расстояния до своих соседей, то (<math>1 + \varepsilon</math>)-аппроксимация может быть вычислена за <math>O(log^* (n) / \varepsilon + 1 / \varepsilon^{O(1)})</math> раундов.'''

Существует ряд открытых вопросов, связанных с распределенной аппроксимацией задач о покрытии и упаковке в частности и с алгоритмами распределенной аппроксимации – в целом. Наиболее очевидной нерешенной задачей, безусловно, является устранение разрывов между верхними границами теорем 1, 2 и 3 и нижними границами теоремы 4. Также было бы любопытно посмотреть, насколько хорошо другие задачи оптимизации поддаются аппроксимации распределенным образом. В частности, распределенная сложность более общих классов линейных программ остается полностью открытым вопросом. Очень интригующей проблемой является определение необходимости рандомизации для получения эффективных по времени распределенных алгоритмов. В настоящее время лучшие детерминированные алгоритмы для нахождения доминирующего множества разумного размера и для многих других задач занимают время <math>2^{O(\sqrt{log \; n})}</math>, тогда как временная сложность лучших рандомизированных алгоритмов обычно является не более чем полилогарифмической от количества узлов.