Сложность биматричного равновесия Нэша: различия между версиями

Захватывающий прорыв, достигнутый Даскалакисом, Голдбергом и Пападимитриу [4] для игр с четырьмя или более игроками, свидетельствует о том, что вычисление равновесия Нэша, вероятно, является трудным. Было доказано, что задача является '''PPAD'''-полной (аргументы полиномиальной четности на ориентированных графах – polynomial parity argument, directed version) – этот класс сложности был введен Пападимитриу в работе [9]. Результаты в [4] основываются на технике, разработанной в [6]. Затем эта оценка сложности была улучшена для случая трех игроков Ченом и Денгом [1], а также Даскалакисом и Пападимитриу [5] – независимо друг от друга и с использованием разных доказательств. Наконец, Чен и Денг [2] доказали, что NASH – задача нахождения равновесия Нэша в биматричной игре (или игре для двух игроков) – является PPAD-полной.

Биматричной игрой называется некооперативная игра между двумя игроками, в которой игроки имеют m и n вариантов действий (или чистых стратегий), соответственно. Такая игра может быть задана двумя матрицами размера <math>m \times n</math>, <math>\mathbf{A} = \big( a_{i, j} \big)</math> и <math>\mathbf{B} = \big( b_{i, j} \big)</math>. Если первый игрок выбирает действие i, а второй игрок – действие j, то их выигрыш составляет <math>a_{i, j}</math> и <math>b_{i, j}</math>, соответственно. Смешанная стратегия игрока представляет собой распределение вероятностей над его выборами. Обозначим за <math>\mathbb{P}^n</math> множество всех векторов вероятностей в <math>\mathbb{R}^n</math>, то есть неотрицательных векторов, сумма элементов которых равна 1. Теорема Нэша о равновесии в некооперативных играх в приложении к биматричным играм гласит, что для каждой биматричной игры G = (A, B) существует пара смешанных стратегий (x* 2 Pm,y* 2 Pn), называемая равновесием Нэша, такая, что для всех x 2 Pm и y 2 Pn имеет место (x*)TAy* > xrAy* и (x*)TBy* > (x*)TBy.

С вычислительной точки зрения можно остановиться на приближенном равновесии Нэша. Обозначим за Ai вектор i-й строки матрицы A, а за Bi – вектор i-го столбца матрицы B. e-поддерживаемое равновесие Нэша для игры (A, B) представляет собой пары смешанных стратегий (x*, y*), такую, что

A,y* > AjV* + 6 H) x* = 0; 8 i; j : 1 < i; j < m; (x*)TB; > (х*)тВ; + 6 H)y у* = 0; 8 i; j : 1 < i;j < n:

Определение 1 (2-NASH и NASH). Входными данными задачи 2-NASH является пара (G, 0k), где G – биматричная игра, а выходными – 2-поддерживаемое равновесие Нэша для игры G. Входнымиданными задачи NASH является биматричная игра G, выходными – точное равновесие Нэша G.

Бинарное отношение R С f0; 1g x {0,1}* является полиномиально сбалансированным, если существует полином p такой, что для всех пар (x;y) 2 R верно jyj < p(jxj). Это отношение вычислимо за полиномиальное время, если для каждой пары (x,y) можно решить, верно ли (x; y) 2 R, за время, полиномиальное относительно jxj + jyj. NP-полная задача поиска QR, заданная R, определяется следующим образом: пустьдано x 2 f0;1}*. Если существует y, такое, что (x; y) 2 R, то алгоритм возвращает y, в противном случае он возвращает специальную строку «нет».

Отношение R является полным, если для каждого x 2 f0;1}* существует y такое, что (x;y) 2 R. Следуя [ ], обозначим за TFNP класс всех NP-полных задач поиска, заданных полными отношениями. Задача поиска QR1 2 TFNP полиномиально сводима к задаче QR2 2 TFNP, если существует пара полиномиально вычислимых функций (f,g) таких, что для каждого x из R1, если y удовлетворяет условию (f(x);y) 2 R2, верно (x;g(y)) 2 R1. Более того, QR1 и QR2 полиномиально эквивалентны, если QR2 также сводится к QR1.

Класс сложности PPAD является подклассом TFNP, содержащим все задачи поиска, которые полиномиально сводимы к:

Определение 2 (задача LEAFD). Входными данными задачи LEAFD является пара (M; 0n), где M определяет машину Тьюринга с полиномиальным временем работы, удовлетворяющую следующим условиям:

Этот экземпляр определяет ориентированный граф G = (V, E) с V = f0; 1gn. Дуга (U; V) 2 E в том и только том случае, если vis – вторая компонента M(U), а u – первая компонента M(v).

Результатом решения задачи LEAFD является ориентированный лист G, отличный от 0n. Здесь вершина называется ориентированным листом, если сумма ее полустепени исхода и полустепени захода равна единице.

Задача поиска в PPAD называется полной в PPAD (или PPAD-полной), если существует редукция от LEAFD до нее за полиномиальное время.

Теорема [2]. Задачи 2-Nash и Nash являются PPAD-полными.

Концепция равновесия Нэша традиционно является одним из наиболее влиятельных инструментов в изучении многих дисциплин, связанных со стратегиями, таких как политология и экономическая теория. Распространение Интернета и изучение его анархической среды сделали равновесие Нэша неотъемлемой частью компьютерных наук. За последние десятилетия сообщество специалистов в области компьютерных наук внесло большой вклад в разработку эффективных алгоритмов для решения соответствующих задач. Полученная последовательность результатов [1, 2, 3, 4, 5, 6] впервые дает некоторые доказательства того, что задача нахождения равновесия Нэша, вероятно, является P-сложной. Эти результаты очень важны для активно развивающейся дисциплины – алгоритмической теории игр.

Упомянутая последовательность работ показывает, что игры с (r + 1) игроками полиномиально сводимы к играм с r игроками для любого r > 2, но редукция осуществляется путем сведения игр с (r + 1) игроками сначала к задаче с фиксированной точкой, а затем к играм с r игроками. Существует ли естественная редукция, которая переходит непосредственно от игр с (r + 1)игроками к играм с r игроками? Подобная редукция могла бы обеспечить лучшее понимание поведения в многопользовательских играх.

Хотя многие считают, что PPAD является трудным для P, однако веских доказательств или интуитивных соображений в пользу этого мнения нет. Остается открытым естественный вопрос: можно ли строго доказать, что класс PPAD является трудным, при одном из общепринятых в теоретической информатике предположений, таких как «NP не находится в P» или «существует вычислительно необратимая функция»? Такой результат был бы чрезвычайно важным как для теории вычислительной сложности, так и для теории алгоритмических игр.