Последовательное сравнение нескольких строк

Ключевые слова и синонимы

Сравнение со словарем

Постановка задачи

Пусть даны конечное множество строк шаблона [math]\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P^1, P^2, ..., Pk \} }[/math] и текстовая строка [math]\displaystyle{ T = t_1 t_2 ... t_n }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] и [math]\displaystyle{ P^i }[/math] представляют собой последовательности над алфавитом [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] размера [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Задача сравнения нескольких строк (multiple string matching, MSM) заключается в нахождении одной или, в общем случае, всех текстовых позиций, начиная с которых [math]\displaystyle{ P^i }[/math] входит в [math]\displaystyle{ T }[/math]; или, говоря более точно, в вычислении множества [math]\displaystyle{ \{ j | \exists i, P^i = t_j t_{j + 1} ... t_{j + |P^i| - 1} \} }[/math] или эквивалентного множества [math]\displaystyle{ \{ j | \exists i, P^i = t_{j - |P^i| + 1} t_{j - |P^i| + 2} ... t_j \} }[/math]. Отметим, что при выдаче всех вхождений шаблонов размер выходных данных может стать квадратичным (например, в случае, когда [math]\displaystyle{ P^i }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] берутся из однобуквенного алфавита). Обозначим длину самого короткого шаблона в [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] за [math]\displaystyle{ \ell min }[/math]. Предполагается, что шаблоны задаются в самом начале, после чего производится поиск их вхождения в нескольких текстах. Данная задача является расширением задачи точного сравнения строк.

Рассматриваются сложность в наихудшем и в среднем случаях. Во втором варианте предполагается, что шаблон и текст генерируются случайным образом посредством равномерного и независимого выбора из [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math]. Для простоты и практичности будем далее полагать [math]\displaystyle{ |P^i| = o(n), 1 \le i \le k }[/math].

Основные результаты

Первое решение задачи сравнения нескольких строк заключается в применении алгоритма точного сравнения строк для локализации каждого шаблона в [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math]. Сложность этого алгоритма составляет O(kn) в наихудшем случае. Существуют более эффективные решения, основанные на двух подходах. Первый подход, предложенный Ахо и Корасик [1], представляет собой расширение алгоритма сравнения одной строки с помощью конечного автомата. Второй подход, реализованный Комменц-Уолтер [3], расширяет алгоритм Бойера-Мура на случай нескольких шаблонов.

Алгоритм Ахо-Корасик вначале строит префиксное дерево [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math] – цифровое дерево, распознающее шаблоны [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math]. [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math] представляет собой дерево, ребра которого помечены буквами, а вдоль ветвей можно прочесть шаблоны [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math]. Вершина p префиксного дерева [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math] ассоциируется с уникальным словом w, «написанным» по пути в [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math], ведущему из его корня в p. Сам корень идентифицируется с пустым словом [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. Заметим, что если w является вершиной в [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math], то w является префиксом некоторого шаблона [math]\displaystyle{ P^i \in \mathcal{P} }[/math]. Если вдобавок к этому [math]\displaystyle{ a \in \Sigma }[/math], то child(w, a) совпадает с wa, если wa является вершиной в [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math], и равно NIL в противном случае.

На втором этапе, когда шаблоны добавляются к префиксному дереву, алгоритм инициализирует выходную функцию out. Он ассоциирует одноэлементное множество [math]\displaystyle{ \{ P^i \} }[/math] с вершинами [math]\displaystyle{ P^i (1 \le i \le k) }[/math] и пустое множество – со всеми другими вершинами [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math].

Наконец, последним этапом предварительной обработки является создание ссылок для случаев несовпадения для каждой вершины префиксного дерева и одновременное завершение создания выходной функции. Функция несовпадения fail определяется на вершинах следующим образом (w является вершиной): fail(w) = u, где u – самый длинный подходящий суффикс w, принадлежащий к [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math]. Вычисление ссылок для несовпадений выполняется в процессе обхода [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math] в ширину. Завершение выходной функции осуществляется в ходе вычисления функции для несовпадения с использованием следующего правила: если [math]\displaystyle{ fail(w) = u }[/math], то [math]\displaystyle{ out(w) = out(w) \cup out(u) }[/math].

Чтобы избежать возвратов по ссылкам для несовпадений при вычислении этих ссылок, а также для обхода символов текста, для которых не был определен переход от корня на этапе поиска, к корню префиксного дерева добавляется цикл для этих символов. В результате получаем механизм поиска совпадений с шаблонами или конечный автомат Ахо-Корасик (см. рис. 1).

Рисунок 1. Механизм поиска совпадений с шаблонами или конечный автомат Ахо-Корасик для множества строк {search, ear, arch, chart}

После завершения этапа предварительной обработки алгоритм переходит к этапу поиска, заключающемуся в разборе текста T при помощи [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math]. Он начинается с корня [math]\displaystyle{ T(\mathcal{P}) }[/math] и использует ссылки с несовпадениями в случаях, когда символ в T не совпадает ни с одной из меток исходящих ребер текущей вершины. Каждый раз, когда встречается вершина с непустым выходным значением, это значит, что в тексте были обнаружены шаблоны выходного текста, заканчивающиеся в текущей позиции. Эта позиция является выходной.

Теорема 1 (Ахо и Корасик [1]). После предварительной обработки [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] поиск вхождений строк из [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] в тексте T может быть выполнен за время [math]\displaystyle{ O(n \times log \; \sigma) }[/math]. Время выполнения соответствующего этапа предварительной обработки составляет [math]\displaystyle{ O(|\mathcal{P}| \times log \; \sigma) }[/math]. Обе операции требуют дополнительной памяти в объеме [math]\displaystyle{ O(|\mathcal{P}|) }[/math].

Алгоритм Ахо-Корасик, в сущности, представляет собой расширение алгоритма Морриса-Пратта для точного сравнения строк на случай конечного множества строк.

Комменц-Уолтер [3] обобщила алгоритм точного сравнения строк Бойера-Мура для случая нескольких строк. Ее алгоритм строит префиксное дерево для обращенных шаблонов в [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] вместе с двумя таблицами сдвига и применяет стратегию сканирования справа налево. Однако он довольно сложен в реализации и имеет квадратичную временную сложность в наихудшем случае.

Алгоритм сравнения с помощью ОАГС (DAWG-match algorithm) является обобщением алгоритма BDM для точного сравнения строк. Он включает построение точной индексной структуры для обращенных строк [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math], такой как фактор-автомат или обобщенное суффиксное дерево, вместо простого префиксного дерева, как в предыдущем варианте (см. рис. 2). Алгоритм в целом может быть сделан оптимальным за счет использования как индексной структуры для обращенных шаблонов, так и конечного автомата Ахо-Корасик для шаблонов. Поиск в этом случае включает сканирование некоторых фрагментов текста слева направо, а некоторых – справа налево. Это позволяет пропускать большие фрагменты текста T.

Рисунок 2. Пример ОАГС, индексной структуры, используемой для сравнения множества строк {search, ear, arch, chart}. Конечный автомат принимает обращенные префиксы строк

Теорема 2 (Крочмор и др., [4]). Алгоритм сравнения с помощью ОАГС выполняет не более 2n сравнений символов. Предполагая, что сумма длин шаблонов в [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] меньше [math]\displaystyle{ \ell min^k }[/math], алгоритм сравнения с помощью ОАГС производит в среднем [math]\displaystyle{ O((n \; log \; \ell min)/\ell min) }[/math] проверок символов текста.

Узким местом ОАГС-алгоритма является объем времени и памяти, затрачиваемых на построение точной индексной структуры. Этого можно избежать, заменив точную индексную структуру оракулом фактора для множества строк. При использовании только оракула фактора получается алгоритм сопоставления с обращенным оракулом множества (Set Backward Oracle Matching, SBOM) [2]. Этот точный алгоритм демонстрирует почти такое же хорошее поведение, как и алгоритм сравнения с помощью ОАГС.

Техника битового параллелизма может применяться для моделирования ОАГС-алгоритма. В результате получается алгоритм Наварро и Раффино MultiBNDM [7]. Эта стратегия эффективно работает в случае, когда [math]\displaystyle{ k \times \ell min }[/math] бит помещаются в нескольких машинных словах. Префиксы строк [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] длины [math]\displaystyle{ \ell min }[/math] упаковываются в один битовый вектор. После этого поиск выполняется так же, как в алгоритме точного сравнения строк BNDM, и осуществляется для всех префиксов в одно и то же время.

Обобщение подхода со сдвигом плохого символа, как в алгоритме точного сравнения строк Хорспула, оказывается неэффективным для задачи MSM из-за высокой вероятности нахождения каждого символа алфавита в одной из строк [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math].

Алгоритм Ву и Манбера [11] рассматривает блоки длины [math]\displaystyle{ \ell }[/math]. Блоки такой длинны хэшируются при помощи функции h в значения меньше maxvalue. Значение функции сдвига shift[h(B)] определяется как минимальное значение из [math]\displaystyle{ |P^i| - j }[/math] и [math]\displaystyle{ \ell min - \ell + 1 }[/math], положив [math]\displaystyle{ B = p^i_{j - \ell + 1}...p^i_j }[/math] для [math]\displaystyle{ 1 \le i \le k }[/math] и [math]\displaystyle{ 1 \le j \le |P^i| }[/math]. Значение [math]\displaystyle{ \ell }[/math] варьируется в зависимости от минимальной длины строк в [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] и размера алфавита. Значение maxvalue варьируется в зависимости от объема доступной памяти.

На этапе поиска этого алгоритма производится чтение блоков B длины [math]\displaystyle{ \ell }[/math]. Если shift[h(B)] > 0, то выполняется сдвиг на длину shift[h(B)]. В противном случае при shift[h(B)] = 0 шаблоны, оканчивающиеся на блок B, проверяются в тексте один за другим. Первым сканируется блок [math]\displaystyle{ t_{\ell min - \ell + 1} ... t_{\ell min} }[/math]. Данный метод встроен в команду agrep [10].

Применение

Алгоритмы решения задачи сравнения нескольких строк (MSM) служат базой для многомерного сравнения с шаблоном и приближенного сравнения с шаблоном с использованием подстановочных знаков. Эта задача часто встречается в таких областях, как вычислительная биология, поиск в базах данных, библиографический поиск, выявление вирусов в потоках данных и многие другие.

Экспериментальные результаты

Книга Наварро и Раффино [8] будет полезна для введения в данную область. В ней представлены графики экспериментов, отражающие экспериментальную оценку работы алгоритмов сравнения нескольких строк для различных значений размера алфавита, длины шаблона и размера множества шаблонов.

Ссылка на код

Эффективное решение задачи MSM обеспечивают такие хорошо известные пакеты, как agrep (http://webglimpse.net/download.html, поддиректория верхнего уровня agrep/) и grep с опцией F (http://www.gnu.org/software/grep/grep.html).

См. также

• Индексированное сравнение строк относится к случаю, при котором возможна предварительная обработка текста
• Многомерное сравнение строк относится к случаю, при котором текст имеет больше одного измерения
• Сравнение регулярных выражений – более сложный случай, где шаблон может быть регулярным выражением
• Последовательное точное сравнение строк – версия, в которой в тексте ищется один шаблон

Литература

Дополнительную информацию можно найти в следующих книгах: [5, 6, 8] и [9].

1. Aho, A.V., Corasick, M.J.: Efficient string matching: an aid to bibliographic search. C. ACM 18(6), 333-340 (1975)

2. Allauzen, C., Crochemore, M., Raffinot, M.: Factor oracle: a new structure for pattern matching. In: SOFSEM'99. LNCS, vol. 1725, pp. 291-306. Springer, Berlin (1999)

3. Commentz-Walter, B.: A string matching algorithm fast on the average. In: Proceedings of ICALP'79. LNCS, vol. 71, pp. 118-132. Springer, Berlin (1979)

4. Crochemore, M., Czumaj, A., Gasieniec, L., Lecroq, T., Plandowski, W., Rytter, W.: Fast practical multi-pattern matching. Inf. Process. Lett. 71(3-4), 107-113 (1999)

5. Crochemore, M., Hancart, C., Lecroq, T.: Algorithms on strings. Cambridge University Press, Cambridge (2007)

6. Gusfield, D.: Algorithms on strings, trees and sequences. Cambridge University Press, Cambridge (1997)

7. Navarro, G., Raffinot, M.: Fast and flexible string matching by combining bit-parallelism and suffix automata. ACM J. Exp. Algorithm 5,4 (2000)

8. Navarro, G., Raffinot, M.: Flexible Pattern Matching in Strings - Practical on-line search algorithms for texts and biological sequences. Cambridge University Press, Cambridge (2002)

9. Smyth, W.F.: Computing Patterns in Strings. Addison Wesley Longman (2002)

10. Wu, S., Manber, U.: Agrep - a fast approximate pattern-matching tool. In: Proceedings of USENIX Winter (1992) Technical Conference, pp. 153-162. USENIX Association, Berkeley (1992)

11. Wu, S., Manber, U.: A fast algorithm for multi-pattern searching. Report TR-94-17, Department of Computer Science, University of Arizona, Tucson, AZ (1994)