Системы метрических задач: различия между версиями

В отличие от детерминированного случая для рандомизированных алгоритмов решения общей задачи MTS пока не сложилось полного понимания, и для общего случая неизвестны точные границы, подобные приведенным в теореме 1.

Доказательство лучших известных на данный момент границ для n-точечной метрики общего вида производится в два этапа. Вначале заданная метрика аппроксимируется ''ультраметрикой'', а затем доказывается величина коэффициента конкурентоспособности общей задачи MTS на ультраметрике.

Фиат и Мендель [9] предложили O(log n log log n)-конкурентный алгоритм для n-точечных ультраметрик, улучшающий (и использующий) результат Бартала, Блюма, Берча и Томкинса [1], которые представили первый полилогарифмический (или даже сублинейный) конкурентный рандомизированный алгоритм решения общей задачи MTS на метрическом пространстве общего вида.

Системы метрических задач были введены в качестве абстракции для онлайн-вычислений, они обобщают многие конкретные задачи онлайн-вычислений, такие как подкачка, взвешенное кэширование, k-серверная задача и обновление списков. Исторически она служила индикатором для общей теории конкурентных онлайн-вычислений.

По-прежнему сохраняется очевидный разрыв между верхней и нижней границами рандомизированного коэффициента конкурентоспособности общей задачи MTS над конечной метрикой общего вида. Известно, что,  в отличие от детерминированного случая, рандомизированный коэффициент конкурентоспособности не является константным над всеми метрическими пространствами того же размера. Однако в случаях, когда известны точные границы, коэффициент конкурентоспособности  равен <math>\Theta(log \; n)</math>. Из этого можно сделать очевидный вывод, что для любой n-точечной метрики рандомизированный коэффициент конкурентоспособности равен <math>\Theta(log \; n)</math>. Вероятно, самыми простыми классами метрических пространств, для которых неизвестна верхняя граница рандомизированного коэффициента конкурентоспособности лучше <math>O(log^2 n) \;</math>, являются пути и циклы.

Хотелось бы усилить формулировку теоремы 5 и получить детерминированный онлайн-алгоритм с полиномиальным временем выполнения, коэффициент конкурентоспособности которого для любого экземпляра задачи MTS на ''любом'' n-точечном метрическом пространстве не более чем в poly-log(n) превышает детерминированный коэффициент конкурентоспособности для этого экземпляра.