Жадные алгоритмы покрытия множества: различия между версиями

Вспомним схему назначения стоимости из доказательства теоремы 1. Согласно предыдущему наблюдению, элементу <math>x_i \;</math> назначается стоимость не более OPT/i. Таким образом, общая стоимость элементов <math>x_n, ..., x_i \;</math> не превышает <math>(H_n - H_{i - q})OPT \;</math>. В силу предположения о том, что каждый вес <math>w_s \le 1 \;</math>, стоимость каждого из оставшихся элементов не превышает 1 за элемент. Таким образом, совокупная стоимость всех элементов не превышает <math>i - 1 + (H_n - H_{i - 1})OPT \;</math>. Обозначив <math>i = 1 + \lceil OPT \rceil</math>, получаем, что совокупная стоимость не превышает <math>\lceil OPT \rceil + (H_n - H_{ \lceil OPT \rceil })OPT \le 1 + OPT(1 + ln(n/OPT))</math>. □

Было показано, что коэффициент аппроксимации жадного алгоритма составляет ln n — ln ln n + O(1) [12]. Для специального случая систем множеств, дополнения которых имеют конечную размерность Вапника — Червоненкиса (VC-размерность), другие алгоритмы демонстрируют заметно лучший коэффициент аппроксимации [ ]. Известны алгоритмы аппроксимации с постоянным коэффициентом для тесно связанных с ними геометрических вариантов таких задач, как метод k-медиан и задача о размещении объектов.

Жадный алгоритм можно естественным образом обобщить на множество задач. Например, для определенной выше задачи минимизации линейной функции относительно субмодулярных ограничений естественное расширение жадного алгоритма дает решение с Hk-аппроксимацией, где k = maxs2Sf(fsg) — f(;), в предположении, что f является целочисленной функцией[10].

Обобщая задачу о покрытии множества, можно потребовать, чтобы каждый элемент x содержался в произвольном числе множеств rx; только в этом случае он будет считаться элементом покрытия. Для этого обобщения существует алгоритм O(log n)-аппроксимации с полиномиальным временем выполнения [8].

Для специального случая, когда каждый элемент принадлежит не более чем к r множествам, имеется более простой алгоритм r-аппроксимации ([15] § 15.2). Если множества имеют однородные веса (ws = 1), алгоритм сводится к следующему: выбрать любой максимальный набор элементов, никакие два из которых не содержатся в одном множестве; вернуть все множества, содержащие выбранный элемент.

В варианте «Максимальное k-покрытие» требуется, чтобы набор множеств, суммарный вес которых не превышает k, покрывал максимально возможное количество элементов. Для этого варианта существует алгоритм (1 — 1/e)-аппроксимации ([15], задача 2.18) (см. [7] для варианта множеств с неоднородными весами).

Широкое обсуждение применения жадных методов для аппроксимации задачи комбинаторной оптимизации можно найти в главе 4 работы [5]).

Наконец, в свете весьма правдоподобных теоретико-сложностных допущений, коэффициент аппроксимации ln n является практически лучшим для любого алгоритма с полиномиальным временем выполнения [3, 4].

Задача о покрытии множествами и ее обобщения и варианты являются фундаментальными для множества областей применения. Несколько примеров:

* [[Локальный поиск для метода k-медиан и задачи о размещении объектов]]