Двумерность: различия между версиями

Теория двумерности включает обобщенные техники разработки эффективных алгоритмов с фиксированными параметрами и алгоритмов аппроксимации для широкого круга NP-полных графовых задач на широком круге графов. Эта теория применяется к графовым задачам, которые являются «двумерными» в следующем смысле: (1) значение решения для графа, представленного в виде решетки <math>k \times k \;</math>, и подобных ему графов растет вместе с k, обычно как <math>\Omega (k^2) \;</math>; (2) значение решения уменьшается при сжатии ребер графа и, возможно, при удалении ребер. Многие задачи являются двумерными; можно привести такие классические примеры, как [[вершинное покрытие]], [[доминирующее множество]] и [[разрывающее множество]] вершин.

Следующие три класса задач касаются исключения миноров. Пусть дано ребро e = {v, w} в графе G. [[Сжатие ребра]] e в графе G заключается в определении вершин v и w в G и удалении всех циклов и дублирующихся ребер. Граф H, полученный в результате последовательности таких операций сжатия ребер в исходном графе G, называется ''сжатием'' графа G. Граф H называется [[минор графа|минором]] графа G, если H является подграфом некоторого сжатия G. Класс графов C является ''замкнутым относительно операции взятия минора'', если любой минор любого графа из C также является членом C. Класс графов C, замкнутый относительно операции взятия минора, является ''свободным от H-миноров'', если <math>H \notin C \;</math>. В более общем смысле, термин «свободный от H-миноров» относится к любому классу графов, замкнутому относительно операции взятия минора, который не включает некоторый фиксированный граф H. ''Граф с однократным пересечением'' представляет собой минор графа, который может быть изображен на плоскости так, что в нем будет пересекаться не более одной пары ребер. Класс графов, замкнутый относительно операции взятия минора, является ''свободным от миноров с однократным пересечением'', если из него исключен фиксированный граф с однократным пересечением. [[Апексный граф|Апексным графом]] называется граф, который становится планарным при удалении из него некоторой вершины. Класс графов является ''свободным от апексных миноров'', если из него исключен некоторый фиксированный апексный граф.

Двумя главными алгоритмическими подходами к задаче двумерности являются субэкспоненциальный алгоритм общего вида с фиксированными параметрами и общая [[схема аппроксимации с полиномиальным временем выполнения]] (PTAS):

Применяя границу параметра и древесной ширины из теоремы 1 к параметру в виде количества вершин графа, можно доказать, что каждый граф, свободный от H-миноров, с n вершинами имеет древесную ширину <math>O( \sqrt{n})</math>, что служит (повторным) доказательством теоремы о сепараторах для графов, свободных от H-миноров. Применяя границу параметра и древесной ширины из теоремы 1 к параметру в виде диаметра графа, можно доказать более сильную форму отношения Эппштейна между диаметром и древесной шириной для графов, свободных от апексных миноров. (Далее можно показать, как еще больше усилить соотношение диаметра и древесной ширины до линейного [6]). Соотношение древесной ширины и решетки из теоремы 2 может использоваться для определения границы разрыва между полуцелым и дробным алгоритмами управления несколькими товарными потоками в свободных от H-миноров графах. Оно также дает O(1)-аппроксимацию древесной ширины для графов, свободных от H-миноров. Субэкспоненциальные алгоритмы с фиксированными параметрами из теоремы 3 подтверждают либо усиливают все подобные предыдущие результаты. Эти результаты также можно обобщить для получения алгоритмов с фиксированными параметрами на произвольных графах. В частности, схемы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения (PTAS) из теоремы 4 позволяют получить первые PTAS для связного доминирующего множества и разрывающего множества вершин даже для планарных графов. Более детальное описание всех этих результатов можно найти в [4].

Можно ли обобщить схемы аппроксимации с полиномиальным временем выполнения из теоремы 4 до алгоритмических задач более общего вида, не сопоставленных напрямую с двумерными параметрами? Один пример семейства подобных задач общего вида появляется при назначении вершинам и/или ребрам весов и необходимости вычислить, например, доминирующее множество с минимальным весом. Еще один пример такой задачи возникает при накладывании ограничений (например, на покрытие или доминирование) только на подмножества вершин и/или ребер. В качестве примеров таких задач можно привести алгоритмы построение дерева Штейнера и разрывающего множества вершин.

* ''[[Схемы аппроксимации для задач с планарными графами]]

2. Demaine, E.D., Fomin, F.V., Hajiaghayi, M., Thilikos, D.M.: Fixed-parameter algorithms for (k,r)-center in planar graphs and map graphs. ACM Trans. Algorithms 1(1), 33^7 (2005)

4. Demaine, E.D., Hajiaghayi, M.:The bidimensionality theory and its algorithmic applications. Comput. J. To appear