Полностью динамическая связность: верхняя и нижняя границы: различия между версиями

Задача заключается в эффективной поддержке информации о связности в динамически меняющемся графе. Динамический алгоритм на графе поддерживает заданное свойство P графа, подверженного динамическим изменениям – таким, как вставка дуги, удаление дуги и обновление веса дуги. Динамический алгоритм должен быстро обрабатывать запросы о свойстве P, а также выполнять операции обновления быстрее, чем вычислять то же самое с нуля при помощи самого быстрого статического алгоритма. Алгоритм называется [[полностью динамический алгоритм|полностью динамическим]], если он поддерживает как вставку дуг, так и удаление дуг. [[Частично динамический алгоритм]] поддерживает либо вставку, либо удаление дуг; [[инкрементный алгоритм]] поддерживает только вставку дуг, [[декрементный алгоритм|декрементный]] – только удаление.

'''Insert(x, y)''': вставляет новую дугу между вершинами x и y.

'''Delete(x, y)''': удаляет дугу между вершинами x и y.

Здесь представлено высокоуровневое описание алгоритма для решения задачи полностью динамической связности в неориентированных графах, описанной в [11]: алгоритм, разработанный Холмом, де Лихтенбергом и Торупом, отвечает на вопрос о связности за время <math>O(log \;  n/log \; log \; n)</math> в наихудшем случае и поддерживает вставку и удаление дуг за амортизированное время <math>O(log^2 n \; )</math>.

Алгоритм поддерживает [[остовный лес]] F на динамически меняющемся графе G. Дуги в F называются [[древесная дуга|древесными дугами]]. Пусть e – древесная дуга леса F; пусть T – дерево из F, содержащее эту дугу. При удалении дуги e деревья <math>T_1</math> и <math>T_2</math>, полученные из T в результате удаления e, могут быть связаны вновь в том и только том случае, если существует недревесная дуга в G, одна конечная точка которой располагается в <math>T_1</math>, а другая – в <math>T_2</math>. Такая дуга называется [[дуга замены|дугой замены]] для e. Иными словами, если имеется дуга замены для e, T восстанавливает связность при помощи этой дуги замены; в противном случае удаление e создает новую компоненту связности в графе G.

Для выполнения систематического поиска дуг замены алгоритм присваивает каждой дуге e уровень <math>\ell (e) \; </math> и на основе этих уровней поддерживает множество под-лесов остовного дерева F: для каждого уровня i лес <math>F_i \; </math> является под-лесом, порожденным древесными дугами уровня выше или равного i. Обозначив за L максимальный уровень дуги, получаем следующее:

Вначале все дуги имеют уровень 0; затем уровни прогрессивно увеличиваются, но никогда не уменьшаются. Изменения уровней дуг выполняются таким образом, чтобы поддерживать следующие инварианты, которые очевидным образом выполняются в начале процесса.

'''Инвариант (1)''': F – максимальный остовный лес графа G, если уровни дуг интерпретировать как их веса.

Инвариант (1) следует интерпретировать следующим образом. Пусть <math>(u, v) \; </math> – недревесная дуга уровня <math>\ell (u, v) \; </math>; пусть <math>u \cdot \cdot \cdot v \; </math> – уникальный путь между u и v в F (такой путь существует, поскольку F является остовным лесом графа G). Пусть e – любая дуга из пути <math>u \cdot \cdot \cdot v \; </math>, а <math>\ell (e) \; </math> – уровень этой дуги. В силу инварианта (1), <math>\ell (e) \ge \ell (u, v) \; </math>. Поскольку это выполняется для каждой дуги пути, а по построению <math>F_{\ell(u, v)}</math> содержит все древесные дуги уровня более или равного <math>\ell (u, v) \; </math>, то весь путь содержится в <math>F_{\ell(u, v)}</math>; иначе говоря, u и v являются связанными в <math>F_{\ell(u, v)}</math>.

Заметим, что при вставке новой дуги ей присваивается уровень 0. Затем ее уровень может быть увеличен не более <math>\mathcal {b} log_2 \; n \mathcal {c}</math> раз вследствие последовательности удалений дуг. Когда удаляется дуга e = (v, w) уровня <math>\ell (e) \; </math>, алгоритм ищет дугу замены с максимально высоким уровнем, если такая существует. В силу инварианта (1) такая дуга замены имеет уровень <math>\ell \le \ell (e) \; </math>. Следовательно, процедура замены <math>Replace((u, w), \ell (e)) </math> вызывается с параметрами <math>e \; </math> и <math> \ell (e)</math>. Далее будут вкратце описаны операции, выполняемые этой процедурой.

<math>Replace((u, w), \ell ) \; </math> находит дугу замены самого высокого уровня, не превышающего <math>\ell \;</math>, если такая существует. Если на уровне <math>\ell \;</math> такой дуги не существует, имеет место один из двух вариантов: если <math>\ell > 0 \;</math>, алгоритм рекурсивно переходит на уровень <math>\ell - 1 \;</math>; в противном случае <math>\ell = 0 \;</math>, и удаление дуги (v, w) разделяет деревья v и w в графе G.

Во время поиска на уровне <math>\ell \;</math> подходящим образом выбранные древесные и недревесные дуги могут быть перемещены на более высокий уровень следующим образом. Пусть <math>T_v</math> и <math>T_w</math> – деревья в лесу <math>F_{\ell }</math>, полученные после удаления дуги (v, w), и пусть, без ограничения общности, <math>T_v</math> меньше <math>T_w</math>. Тогда <math>T_v</math> содержит не более <math>n/2^{\ell + 1}</math> вершин, поскольку <math>T_v \cup T_w \cup \{ (v, w) \} </math> было деревом на уровне <math>\ell \;</math> и выполняется инвариант (2). Следовательно, дуги уровня <math>\ell \;</math> в <math>T_v</math> могут быть перемещены на уровень <math>\ell + 1\;</math> с сохранением инвариантов. Наконец, одна за дугой посещаются недревесные дуги, инцидентные <math>T_v</math>: если дуга соединяет <math>T_v</math> и <math>T_w</math>, то дуга замены найдена и поиск останавливается; в противном случае ее уровень увеличивается на 1.

Деревья каждого леса поддерживаются таким образом, что базовые операции, необходимые для реализации вставки и удаления дуг, могут быть выполнены за время O(log n). Имеются несколько вариантов базовых структур данных, которые могут выполнить такую задачу; например, для этой цели можно использовать деревья [[Эйлеров путь|Эйлерова пути]] (ET-деревья), впервые предложенные в [17].

Помимо вставки и удаления дуг из леса, ET-деревья также могут поддерживать такие операции, как нахождение в лесу дерева, содержащего заданную вершину, вычисление размера дерева и, что еще более важно, нахождение древесных дуг уровня <math>\ell \;</math> в дереве <math>T_v</math> и недревесных дуг уровня <math>\ell \;</math>, инцидентных <math>T_v</math>. Это можно сделать за счет дополнения ET-деревьев константным количеством информации для каждой вершины; подробнее об этом – в [11].

Используя идею амортизации на базе изменений уровня, можно доказать заявленную границу времени обновления в размере <math>O(log^2 n) \; </math>. В частности, вставка дуги и повышение ее уровня требуют времени <math>O(log \; n)</math>. Поскольку это может случиться <math>O(log \; n)</math> раз, полная амортизированная стоимость вставки, включающая повышение уровня, составляет <math>O(log^2 n) \; </math>. Что касается удалений дуг, полная стоимость операций обрезания и связывания <math>O(log \; n)</math> лесов составляет <math>O(log^2 n) \; </math>; кроме того, имеется <math>O(log \; n)</math> рекурсивных вызовов процедуры Replace, каждый из них стоимостью <math>O(log \; n)</math>, плюс амортизированная стоимость операций повышений уровня. ET-деревья над <math>F_0 = F \; </math> позволяют получать ответы на запросы о связности за время <math>O(log \; n)</math> в наихудшем случае. Как было показано в [11], это время может быть уменьшено до <math>O(log \; n/log \; log \; n)</math> в случае использования <math>\Theta (log \; n)</math>-арной версии ET-деревьев.

'''Теорема 1. Динамический граф G с n вершинами может поддерживать вставку и удаление дуг за амортизированное время <math>O(log^2 \; n)</math> на одно обновление и отвечать на запросы о связности за время <math>O(log \; n/ log \; log \; n)</math> в наихудшем случае.'''

'''Теорема 2. Динамический граф G с n вершинами может поддерживать вставку и удаление дуг за амортизированное время <math>O(log \; n • (log \; log \; n)^3)</math> на одно обновление и отвечать на запросы о связности за время <math>O(log \; n/log \; log \; log \; n)</math>.'''

Границы, приведенные в теоремах 1 и 2, не могут сравниваться непосредственно, поскольку каждая из них жертвует оптимальностью времени исполнения одной операции (либо запроса, либо обновления) ради улучшения времени исполнения другой.

Задача динамической связности является базовой подзадачей множества других важных задач – таких как динамическая поддержка минимальных остовных деревьев и динамическая задача связности дуг и вершин. Кроме того, существуют различные варианты применения задачи динамической связности графа в других дисциплинах – от вычислительной биологии, в которой задача динамической связности графа оказывается полезной для динамического сопровождения поверхности молекул белка в ходе того, как молекулы претерпевают конформационные изменения [6], до обработки изображений, в которой требуется поддерживать связные компоненты растрового изображения [3].

* ''[[Полностью динамическая высокая связность]]

* ''[[Полностью динамическая высокая связность в планарных графах]]

* ''[[Полностью динамическое транзитивное замыкание]]