Балансировка нагрузки: различия между версиями

Балансировка нагрузки временных задач представляет собой проблему онлайнового характера. В этом случае прибывающие задачи (или задания) необходимо назначать процессорам, также называемым машинами. Далее обсуждается детерминированная онлайновая балансировка нагрузки для временных задач с неизвестной длительностью. Входная последовательность состоит из поступлений и убытий задач. Если последовательность состоит только из поступлений, задачи называются постоянными. События происходят одно за другим, следующее событие возникает после того, как алгоритм завершил работу с предыдущим событием.

''Ограниченное назначение'' [8] представляет собой модель, в которой каждое задание может выполняться только на подмножестве машин. Задание j ассоциируется со временем выполнения, равном времени выполнения на любой из разрешенных ему машин <math>M_j</math>. Таким образом, если <math>i \in M_j</math>, то <math>p^i_j = p_j</math>, в противном случае <math>p^i_j = \infty</math>.

Для равномерно связанных машин ситуация не слишком отличается. В этом случае алгоритмы Аспнеса и др. [3], а также Бермана и др. [12] не могут применяться в исходном виде и требуют определенных модификаций. Алгоритм Азара и др. [7] имеет коэффициент конкурентоспособности не выше 20; он основан на общем методе, предложенном в [3]. Алгоритм в работе [3] сохраняет предполагаемое значение <math>\lambda</math>, которое является оценкой стоимости оптимального оффлайнового алгоритма OPT. Инвариантом, который необходимо сохранить, является <math>\lambda \le 2 OPT</math>. На каждом шаге процедура применяется для некоторого значения <math>\lambda</math> (которое может быть инициализировано как загрузка первого задания на самой быстрой машине). Процедура для заданного значения <math>\lambda</math> применяется до тех пор, пока она не завершится неудачей, т. е. некоторое задание не может быть назначено, несмотря на выполнение всех условий. Процедура спроектирована таким образом, что в случае, когда она завершается неудачей, а это должно быть при <math>OPT > \lambda</math>, значение <math>\lambda</math> удваивается, и процедура повторяется для нового значения, игнорируя все назначения, выполненные для малых значений <math>\lambda</math>. Этот подход называется методом удвоения, в результате чего получается алгоритм с коэффициентом конкурентоспособности, который не более чем четыре раза превышает коэффициент конкурентоспособности, достигнутый процедурой. Процедура для заданного <math>\lambda</math> действует следующим образом. Пусть будет целевым коэффициентом конкурентоспособности для процедуры будет c. Машины сортируются по их скорости. Каждое задание назначается первой машине согласно порядку сортировки, такой, что задание может быть ей назначено. Задание j, поступающее в момент времени t, может быть назначено машине i, если <math>p_j / s_i \le \lambda</math> и <math>L^{t - 1}_i + p_j / s_i \le c \lambda</math>. В работе [7] было показано, что c = 5 позволяет алгоритму успешно назначать все задания (т. е. иметь хотя бы одну допускающую назначение машину для каждого задания), до тех пор, пока <math>OPT \le \lambda</math>. Заметим, что константа c для постоянных задач, используемая в [3], равна 2. Что касается нижних границ, то в [7] было показано, что коэффициент конкурентоспособности <math>\mathcal{R}</math> любого алгоритма удовлетворяет условию <math>\mathcal{R} \ge 3 - o(1)</math>. Верхнюю границу до значения <math>6 + 2 \sqrt{5} \approx 10.47</math> улучшили Бар-Ной и др. [9].  

При построении в работе [16] выбирается значение p, которое представляет собой наибольшее целое число, удовлетворяющее соотношению <math>p + p^2 \le m</math>. Очевидно, что <math>p = \Theta (\sqrt{m})</math>. Для расчета нижней границыиспользуются два набора машин – <math>p</math> машин, которые называются «малой группой», и <math>p^2</math> машин, называемые «большой группой». Построение состоит из <math>p^2</math> фаз, каждая из которых состоит из <math>p</math> заданий и предназначена для одной машины в большой группе. На фазе i задание k этой фазы может выполняться либо на k-й машине малой группы, либо на i-й машине большой группы. После этого поступления только одно из этих <math>p</math> заданий не убывает. Оптимальный оффлайновый алгоритм на каждой фазе назначает все задания малой группы, за исключением одного задания, которое не убывает. Таким образом, после завершения построения на каждую машину большой группы приходится по одной задаче. Максимальная нагрузка, когда-либо достигаемая OPT, равна 1. Однако алгоритм не знает на каждой фазе, какое из имеющихся заданий не уйдет. Если на фазе i малой группе не назначено ни одного задания, то нагрузка на машину i полагается равной <math>p</math>. В противном случае задание, которое алгоритм назначает малой группе, выбирается как задание, которое не убывает вместе с остальными. Таким образом, после <math>p</math> фаз на малой группе накапливается совокупная нагрузка <math>p^2</math>, что означает, что по крайней мере одна машина в ней имеет нагрузку <math>p</math>. На этом конструирование завершается.

Альтернативный алгоритм под названием ROBIN HOOD был предложен в работе [7]. Этот алгоритм сохраняет нижнюю границу на OPT, которая представляет собой максимум из двух следующих функций. Первой из них является максимальная средняя загрузка машины за прошедшее время работы алгоритма. Второй – максимальный размер работы среди всех, поступивших за это время. Обозначим эту нижнюю границу на время t (после того, как произошли t событий) за <math>B^t</math>. Машина i называется «богатой» в момент времени t, если <math>L^t_i \ge \sqrt{m B^t}</math>. В противном случае она называется «бедной». Временем «удачи» богатой машины i является такой момент времени t, что в момент времени t' - 1 она еще является бедной, а в моменты t', ..., t, – уже богатой; т. е. именно в этот момент машина i перешла в разряд богатых. Очевидно, что машины могут стать бедными из-за обновления <math>B^t</math> или убытия заданий. Стать богатой машина может в результате поступления заданий, назначенных ей.

Заметим, что для малых значений m <math>(m \le 5)</math> коэффициент конкурентоспособности жадного алгоритма все еще является наилучшим, как было показано в [1]. В данной работе было показано, что для эта граница равна (m + 3)/2 для m = 3, 4, 5. Нетрудно заметить, что для m = 2 лучшая граница равна 2.

Самая большая разница возникает в случае несвязанных машин. В отличие от случая постоянных задач, в котором может быть достигнута верхняя граница O(log m) [3], в [2] было показано, что любой алгоритм имеет коэффициент конкурентоспособности <math>\Omega(m / log \; m)</math>. Отметим, что у тривиального алгоритма, который назначает каждое задание машине, имеющей имеет минимальную нагрузку, коэффициент конкурентоспособности не превышает m [3].

=  Применение ==

Аналогичная модель известна и для задачи упаковки в контейнеры. В этой задаче последовательность состоит из поступлений и убытий элементов размером (0;1 ]. Цель заключается в том, чтобы сохранить разбиение имеющихся в данный момент элементов на подмножества (контейнеры), где сумма элементов в каждом подмножестве не превышает 1. Стоимостью является максимальное количество одновременно используемых в любой момент времени контейнеров. Эта задача изучалась в работах [13, 14].

В [10] исследовалась иерархическая модель. Это специальный случай ограниченного задания, в котором для каждого задания j M(j) является префиксом машин. Они показали, что даже для временных заданий для этой модели существует алгоритм с константным коэффициентом конкурентоспособности.