Минимальные k-связные геометрические сети

Ключевые слова и синонимы

Геометрические графы; евклидовы графы

Постановка задачи

Рассматривается следующая классическая задача оптимизации: для заданной неориентированной взвешенной геометрической сети найти подсеть минимальной стоимости, удовлетворяющую заданным априори требованиям многосвязности.

Нотация

Пусть G = (V, E) – геометрическая сеть, множество вершин V которой соответствует множеству из n точек в R d для определенного целого числа d > 2, а множество ребер E – множеству прямолинейных сегментов, соединяющих пары точек из V. Сеть G называется полной, если E соединяет все пары точек из V.

Стоимость 8(x, y) дуги, соединяющей пару точек x, y 2 Rd, равна евклидовому расстоянию между точками x и y. Иначе говоря, S(x, y) = P di=1(xi ~~ i)2, где x = (x1, ... , xd) и y = (y1, ... : : , yd). В более общем виде стоимость можно определить с использованием других норм – таких как lp-нормы для любого p > l, т.е. 8(x,y) = Pid=1(xi ~ yi)p. Стоимость сети представляет собой сумму стоимостей всех ребер сети: cost(G) = ^\x -,eE S(x, y).

Сеть G = (V, E) служит остовом множества точек S, если V = S. Сеть G является k-вершинно-связной, если для любого множества l/cy, состоящего из менее чем k вершин, сеть (V n U; E \ ((V n U) x (V n U)) является связной. Подобным же образом G является k-реберно-связной, если E С E с количеством ребер менее k сеть (V, E n E) является связной.

(Евклидова) задача нахождения k-вершинно-связной остовной сети минимальной стоимости Для заданного множества S из n точек в евклидовом пространстве Rd найти k-вершинно-связную сеть минимальной стоимости, охватывающую все точки S.

(Евклидова) задача нахождения k-реберно-связной остовной сети минимальной стоимости Для заданного множества S из n точек в евклидовом пространстве Rd найти k-реберно-связную евклидову сеть минимальной стоимости, охватывающую все точки S. Рассматривается также вариант, допускающий наличие параллельных ребер:

(Евклидова) задача нахождения k-реберно-связной остовной мультисети минимальной стоимости Для заданного множества S из n точек в евклидовом пространстве Rd найти k-реберно-связную евклидову сеть минимальной стоимости, охватывающую точки S (в случае мультисети она может содержать параллельные ребра).