R-дерево: различия между версиями

R-дерево, введенное Гуттманом [9], представляет собой многовариантное дерево <math>\mathcal{T} \;</math>, очень похожее на [[B-дерево (дерево многоканального поиска)|B-дерево]], использующееся для хранения множества S, благодаря чему на оконные запросы можно эффективно получать ответы. Каждая вершина <math>\mathcal{T} \;</math> помещается в один блок диска. Гиперкубы из S хранятся только в листьях <math>\mathcal{T} \;</math>. Все листья <math>\mathcal{T} \;</math> находятся на одном и том же уровне, в каждом из них хранится <math>\Theta(B) \;</math> гиперкубов из S; каждая внутренняя вершина, кроме корня, имеет <math>\Theta(B) \;</math> инцидентных ей исходящих дуг. Корень <math>\mathcal{T} \;</math> имеет только две исходящих дуги. Для любой вершины <math>u \in \mathcal{T} \;</math> обозначим за R(u) наименьший параллельный осям гиперкуб, называемый [[минимальный ограничивающий прямоугольник|минимальным ограничивающим прямоугольником]], который включает все гиперкубы, хранящиеся ниже u. В каждой внутренней вершине <math>v \in \mathcal{T} \;</math> с детьми <math>v_1, ..., v_b \;</math> ограничивающий прямоугольник <math>R(v_i) \;</math> хранится вместе с указателем на <math>v_i \;</math> для i = 1, ..., k. Заметим, что эти ограничивающие прямоугольники могут перекрываться. На рис. 1 представлен пример R-дерева в двух измерениях.

R-деревья широко использовались на практике благодаря своей простоте, возможности хранения пространственных объектов различных форм и способности отвечать на различные запросы. Они применяются в таких областях, как географические информационные системы (ГИС), САПР, машинное зрение и робототехника. Если объекты не являются параллельными осям гиперкубами, их часто можно аппроксимировать минимальными ограничивающими прямоугольниками и затем построить R-дерево на основе этих прямоугольников. При поиске ответа на оконный запрос вначале R-дерево используется для локализации всех пересекающихся ограничивающих прямоугольников, после чего следует этап фильтрации с точной проверкой объектов. R-дерево также можно использовать для выполнения запросов других типов – например, объединенных запросов по шаблону, запросов о ближайших соседях и т.п. В объединенных запросах каждый объект o множества S ассоциирован с весом <math>w(o) \in \mathbb{R} \;</math>; задача состоит в вычислении <math>\sum w(o) \;</math>, где сумма берется по всем объектам, пересекающим диапазон вопроса Q. Алгоритм запроса точно тот же, что и раньше, за тем исключением, что он подсчитывает сумму при обходе R-дерева и может пропускать целое поддерево с корнем в вершине u, если R(u) полностью содержится в Q. Для нахождения ближайшего соседа точки запроса q поддерживается очередь приоритетов; в ней хранятся все вершины u, которые могут содержать объект, находящийся ближе к найденному до настоящего момента ближайшему соседу. Приоритетом u в очереди является расстояние между q и R(u). Поиск прекращается, когда текущий ближайший сосед оказывается ближе самого высокого элемента в очереди приоритетов. Однако пока неизвестны границы для наихудшего случая для ответа на подобные вопросы при помощи R-деревьев, хотя на практике они работают очень хорошо.

• Возможно ли разработать R-дерево с оптимальной границей запросов <math>O((N/B)^{1 - 1/d} + T/B) \;</math> и возможностью эффективного обновления или доказать значение нижней границы стоимости обновления у такого R-дерева?

• Существует ли R-дерево, поддерживающее объединенные запросы для параллельных осям гиперкубов за <math>O((N/B)^{1 - 1/d}) \;</math> операций ввода-вывода? Это было бы оптимально, поскольку нижняя граница из теоремы 1 также верна для объединенных запросов на R-деревьях. Впрочем, стоит отметить, что для запросов о ближайших соседях не существует сублинейной границы в наихудшем случае, поскольку несложно разработать пример для наихудшего случая, в котором расстояние между точкой запроса q и любым ограничивающим прямоугольником будет меньше расстояния между q и его истинным ближайшим соседом.

• Когда оконный запрос Q стягивается в точку, иначе говоря, когда требуется найти все гиперкубы из S, содержащие точку запроса, такую задачу часто называют ''прокалывающим запросом'' или ''запросом с замыканием на точку''. Нижняя граница из теоремы 1 для этого специального случая не действует; для модели сильной индексируемости в [5] была доказана нижняя граница <math>\Theta(log_2 \; N + T/B)</math>. Любопытно было бы узнать истинную сложность прокалывающих запросов при помощи R-деревьев, которая находится в интервале между <math>\Theta(log_2 \; N + T/B)</math> и <math>O((N/B)^{1 - 1/d} + T/B) \;</math>.