R-дерево: различия между версиями

Пусть S – множество из N гиперкубов, параллельных осям, в пространстве Rd. Одной из простейших операций к пространственной базе данных является ответ на оконные запросы на множестве S. Оконный запрос Q также представляет собой параллельный осям гиперкуб в пространстве Rd, который предлагает вернуть все гиперкубы из S, имеющие пересечение с Q. Поскольку S, как правило, очень велико и пространственная база также имеет очень большой размер, задача состоит в разработке структуры данных с внешней памятью на дисках (в посвященной базам данных литературе такая структура часто называется индексом), позволяющей эффективно отвечать на подобные оконные запросы. Кроме того, при заданном множестве S структура данных должна быть эффективной в построении и поддерживать вставку и удаление объектов.

При рассмотрении структур данных с внешней памятью в качестве модели вычислений нередко используется стандартная модель внешней памяти [ ], также называемая моделью ввода-вывода. В данной модели машина состоит из внешней памяти неограниченного объема (диска) и основной памяти размера M. Блок из В последовательных элементов может быть передан между основной и дисковой памятью за одну операцию ввода-вывода. Структура данных внешней памяти хранится на диске по блокам, но вычисление может производиться только над элементами в основной памяти, так что любая операция (такая как запрос, обновление и построение) на структуре данных должна включать некоторое число операций ввода-вывода; количеством операций ввода-вывода измеряется сложность основной операции.

R-деревья

R-дерево, введенное Гуттманом [ ], представляет собой многовариантное дерево T, очень похожее на B-дерево, использующееся для хранения множества S, благодаря чему на оконные запросы можно эффективно получать ответы. Каждая вершина T помещается в один блок диска. Гиперкубы из S хранятся только в листьях T. Все листья T находятся на одном и том же уровне, в каждом из них хранится 0{B) гиперкубов из S; каждая внутренняя вершина, кроме корня, имеет 0{B) инцидентных ей исходящих дуг. Корень T имеет только две исходящих дуги. Для любой вершины u 2 T обозначим за R(u) наименьший параллельный осям гиперкуб с, называемый минимальным ограничивающим прямоугольником, который включает все гиперкубы, хранящиеся ниже u. В каждой внутренней вершине v 2 T с детьми v1, ... ,Vb ограничивающий прямоугольник R(vi) хранится вместе с указателем на vi для i = 1, ..., : : k. Заметим, что эти ограничивающие прямоугольники могут перекрываться. На рис. 1 представлен пример R-дерева в двух измерениях.

Пусть имеется оконный запрос Q. Процесс ответа на запрос начинает работу с корня дерева T и посещает все вершины u, у которых R(u) пересекается с Q. Достигнув листа v, он проверяет каждый гиперкуб, хранящийся в v, решая, следует ли включить его в ответ. Корректность алгоритма очевидна, а его эффективность (количество операций ввода-вывода) определяется количеством посещенных вершин.

Хотя структура R-дерева ограничена, группировка гиперкубов в листья и группировка поддеревьев в поддеревья большей величины допускает немалую долю свободы. Различные стратегии группировки приводят к созданию различных вариантов R-деревьев. Большинство существующих R-деревьев используют различные эвристики для группировки гиперкубов, «близких» друг к другу в пространственном отношении, так что оконному запросу не придется посещать слишком много «лишних» вершин. В общем случае имеются два способа построения R-дерева: повторная вставка и массовая загрузка. К первому типу алгоритмов относятся исходное R-дерево [ ], R+-дерево [15], R*-дерево [6] и т.п. Эти алгоритмы используют O(logB N) операций ввода-вывода для вставки объекта и, следовательно, O(NlogB N) операций ввода-вывода для построения R-дерева на множестве S, что плохо масштабируется для больших значений N. Если множество S известно заранее, намного эффективнее оказывается организовать массовую загрузку всего R-дерева за один проход. Существует множество алгоритмов массовой загрузки – с ними можно ознакомиться, например, в [7, 8, 10, 11, 13]. Большинство этих алгоритмов строит R-дерево за O(N/B log M/B N/B) операций ввода-вывода (именно столько их требуется для сортировки N элементов); полученные в результате R-деревья обычно оказываются лучше созданных при помощи повторной вставки. За прошедшие десятилетия специалистами по работе с базами данных было опубликовано много работ, посвященных R-деревьям, полный список которых был бы слишком обширным. Манопулос и др. [14] приводят великолепный обзор литературы по данному вопросу. Однако ни один из вышеупомянутых вариантов R-деревьев не гарантирует нужной сложности выполнения запроса; Ардж и др. [3] построили пример, демонстрирующий, что в случае некоторых из наиболее популярных R-деревьев приходится посещать все вершины, не дав ни одного ответа.

 

Теорема 1 ([1, 12]). Имеется множество из N точек в пространстве Rd, такое, что для любого R-дерева T, построенного на этих точках, существует пустой оконный запрос, для выполнения которого алгоритм запроса должен посетить Z2((N/B)1-lld) вершин T.

R-дерево с приоритетами, предложенное Арджем и др. [ ], соответствует вышеприведенной нижней границе.

Теорема 2 ([3]). Для любого множества S, содержащего N параллельных осям гиперкубов в пространстве Rd, R-дерево с приоритетами отвечает на оконный запрос при помощи O{{NIB)l~lld + T/B) операций ввода-вывода и может быть построено при помощи O(N/BlogM/BN/B) операций ввода-вывода.

Было также отмечено, что R-деревья с приоритетами на практике работают весьма успешно [ 3]. Однако неизвестно, как эффективно обновлять их с сохранением границы для наихудшего случая. Для поддержки операций вставки и удаления был предложен логарифмический метод [3], однако получающаяся структура уже не будет R-деревом. Заметим, однако, что нижняя граница из теоремы 1 относится только к R-деревьям. Если структура данных не ограничена определением R-дерева, в процессе выполнения оконных запросов можно получить более подходящие границы; см., например, [4].

R-деревья широко использовались на практике благодаря своей простоте, возможности хранения пространственных объектов различных форм и способности отвечать на различные запросы. Они применяются в таких областях, как географические информационные системы (ГИС), САПР, машинное зрение и робототехника. Если объекты не являются параллельными осям гиперкубами, их часто можно аппроксимировать минимальными ограничивающими прямоугольниками и затем построить R-дерево на основе этих прямоугольников. При поиске ответа на оконный запрос вначале R-дерево используется для локализации всех пересекающихся ограничивающих прямоугольников, после чего следует этап фильтрации с точной проверкой объектов. R-дерево также можно использовать для выполнения запросов других типов – например, объединенных запросов по шаблону, запросов о ближайших соседях и т.п. В объединенных запросах каждый объект o множества S ассоциирован с весом w(o) 2 R; задача состоит в вычислении P w(o), где сумма берется по всем объектам, пересекающим диапазон вопроса Q. Алгоритм запроса точно тот же, что и раньше, за тем исключением, что он подсчитывает сумму при обходе R-дерева и может пропускать целое поддерево с корнем в вершине u, если R(u) полностью содержится в Q. Для нахождения ближайшего соседа точки запроса q поддерживается очередь приоритетов; в ней хранятся все вершины u, которые могут содержать объект, находящийся ближе к найденному до настоящего момента ближайшему соседу. Приоритетом u в очереди является расстояние между q и R(u). Поиск прекращается, когда текущий ближайший сосед оказывается ближе самого высокого элемента в очереди приоритетов. Однако пока неизвестны границы для наихудшего случая для ответа на подобные вопросы при помощи R-деревьев, хотя на практике они работают очень хорошо.

 

• Возможно ли разработать R-дерево с оптимальной границей запросов O((WB)1"1/d + T/B) и возможностью эффективного обновления или доказать значение нижней границы стоимости обновления у такого R-дерева?

• Существует ли R-дерево, поддерживающее объединенные запросы для параллельных осям гиперкубов за О((Ш)1"1И) операций ввода-вывода? Это было бы оптимально, поскольку нижняя граница из теоремы 1 также верна для объединенных запросов на R-деревьях. Впрочем, стоит отметить, что для запросов о ближайших соседях не существует сублинейной границы в наихудшем случае, поскольку несложно разработать пример для наихудшего случая, в котором расстояние между точкой запроса q и любым ограничивающим прямоугольником будет меньше расстояния между q и его истинным ближайшим соседом.

• Когда оконный запрос Q стягивается в точку, иначе говоря, когда требуется найти все гиперкубы из S, содержащие точку запроса, такую задачу часто называют прокалывающим запросом или запросом с замыканием на точку. Нижняя граница из теоремы 1 для этого специального случая не действует; для модели сильной индексируемости в [5] была доказана нижняя граница £?(log2 N + T/B). Любопытно было бы узнать истинную сложность прокалывающих запросов при помощи R-деревьев, которая находится в интервале между Q{\og2 N + T/B) и O{{NIB)l~lld + T/B).